논리학에서 분지 유형 이론(分枝類型理論, 영어: ramified type theory, 약자 RTT) 또는 복잡 유형 이론(複雜類型理論)은 단순 유형 이론보다 더 세분된 유형을 사용하는 논리 체계이다.[1][2]:Chapter 2
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자. (여기서 은 음이 아닌 정수의 집합이다.)
- 최대 원소를 갖지 않는 가산 무한 정렬 전순서 집합 . 그 원소를 변수(變數, 영어: variable)라고 한다.
- 집합 . 그 원소를 개체(個體, 영어: individual)라고 한다.
- 집합 및 함수 . 각 에 대하여, 의 원소를 항 관계(項關係, 영어: -ary relation)라고 한다.
그렇다면, 에 대한 분지 유형 이론은 다음과 같다.
분지 유형[편집]
분지 유형 이론에서 사용되는 분지 유형(分枝類型, 영어: ramified type)과 이들의 차수(次數, 영어: order)는 다음과 같다.
- 은 0차 분지 유형이다.
- 차 분지 유형 및 자연수 에 대하여, 는 차 분지 유형이다.
이들 가운데, 술어적 분지 유형(述語的分枝類型, 영어: predicative ramified type)은 다음과 같다.
- 은 술어적 분지 유형이다.
- 차 술어적 분지 유형 에 대하여, 는 술어적 분지 유형이다. (일 경우, 은 술어적 분지 유형이다.)
술어적 분지 유형은 차수를 생략한 채 와 으로 쓸 수 있다.
분지 유형 이론의 문맥(文脈, 영어: context)은 유한 개의 변수의 집합과 분지 유형의 집합 사이의 함수이다. 문맥은 변수 와 분지 유형 의 순서쌍 들의 유한 집합으로 여길 수 있다. 이 경우, 문맥 의 정의역(定義域, 영어: domain)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
논리식[편집]
분지 유형 이론의 유사 논리식(類似論理式, 영어: pseudoformula)은 다음과 같다.
- 항 관계 및 변수 또는 개체 에 대하여, 은 유사 논리식이다.
- 일 경우 유사 논리식 은 0항 관계 와 구분되어야 한다. 분지 유형 이론에서 항 관계는 유사 논리식이 아니다.
- 변수 및 유한 개의 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 에 대하여, 는 유사 논리식이다.
- 일 경우 유사 논리식 은 변수 와 구분되어야 한다. 분지 유형 이론에서 변수나 개체는 유사 논리식이 아니다.
- 유사 논리식 에 대하여, 와 는 유사 논리식이다.
- 유사 논리식 및 그 자유 변수 및 분지 유형 에 대하여, 는 유사 논리식이다.
유사 논리식의 집합을 라고 하자. 또한 각 유사 논리식 에 대하여, 가 속에 등장하는 모든 변수의 집합이라고 하고,
가 의 모든 자유 변수라고 하자.
문맥 에서 개체 또는 유사 논리식 가 분지 유형 를 갖는다는 것은 로 표기하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. (여기서 는 를 뜻한다.)
- 개체 에 대하여, 이다.
- 항 관계 및 개체 에 대하여, 이다.
- (논리 연산) 문맥 및 유사 논리식 및 분지 유형 에 대하여, 만약 이며, 이며, 라면,
이다.
- (한정) 문맥 및 유사 논리식 및 및 분지 유형 에 대하여, 만약 라면,
이다.
- (매개 변수에 대한 추상화) 문맥 및 유사 논리식 및 그 개체이거나 유사 논리식인 매개 변수 및 분지 유형 및 변수 에 대하여, 만약 이며 이라면,
이다. 여기서 는 에 등장하는 와 αΓ-동치인 각 매개 변수 를 로 대체하여 얻는 유사 논리식이다. (《수학 원리》에서 이는 가 술어적 분지 유형인 경우로 제한된다.)
- (논리식에 대한 추상화) 문맥 및 유사 논리식 및 분지 유형 및 변수 에 대하여, 만약 이라면,
이다. (이 경우 반드시 임을 보일 수 있다.) (《수학 원리》에서 이는 가 술어적 분지 유형인 경우로 제한된다.)
- (치환) 문맥 및 자유 변수를 갖는 유사 논리식 및 개체 또는 유사 논리식 및 분지 유형 에 대하여, 만약 이며, 라면,
이다. (이 경우 는 반드시 정의됨을 보일 수 있다.)
- (약화) 문맥 및 유사 논리식 및 분지 유형 에 대하여, 만약 이며, 라면, 이다.
- (순열) 문맥 및 유사 논리식 및 및 분지 유형 및 변수 에 대하여, 만약 라면,
이다.
주어진 문맥 속에서, 유사 논리식의 분지 유형은 존재하지 않을 수 있으나, 만약 존재한다면 이는 유일하다. 주어진 유사 논리식은 서로 다른 문맥 속에서 서로 다른 분지 유형을 가질 수 있다. 유사 논리식 에 대하여, 인 문맥 과 가 존재한다면, 를 논리식(論理式, 영어: formula)이라고 한다.
자유 변수, 매개 변수, 재귀 매개 변수[편집]
분지 유형 이론의 각 유사 논리식 의 자유 변수(自由變數, 영어: free variable)의 집합 , 매개 변수(媒介變數, 영어: parameter)의 집합 , 재귀 매개 변수(再歸媒介變數, 영어: recursive parameter)의 집합 은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. (매개 변수와 재귀 매개 변수는 이름과 달리 변수가 아닐 수 있다.)
- 항 관계 및 변수 또는 개체 에 대하여,
- 변수 및 유한 개의 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 에 대하여,
- 유사 논리식 에 대하여,
- 유사 논리식 및 그 자유 변수 에 대하여,
변수 또는 개체 또는 유사 논리식 및 서로 다른 변수 에 대하여,
이라고 하자.
유사 논리식 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 및 서로 다른 변수 에 대하여, 치환 실례(置換實例, 영어: substitutional instance) 는 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
- 항 관계 및 변수 또는 개체 및 서로 다른 변수 에 대하여,
- 변수 및 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 및 서로 다른 변수 에 대하여,
- 유사 논리식 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 및 서로 다른 변수 에 대하여,
- 유사 논리식 및 그 자유 변수 및 분지 유형 및 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 및 서로 다른 변수 에 대하여,
위 경우에 속하지 않는 치환 실례는 정의되지 않는다. 예를 들어, 변수 또는 개체 또는 유사 논리식 및 서로 다른 변수 에 대하여, 만약 이거나, 이며 의 자유 변수가 정확히 개가 아닐 경우, 는 정의되지 않는다.
α-동치[편집]
두 유사 논리식 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 전단사 함수 가 존재한다면, 가 서로 α-순열 동치(α-順列同値, 영어: α-equivalent modulo permutation)라고 한다.
- 는 에 등장하는 각 변수 를 로 대체하여 얻는다. (특히, 이다.)
두 유사 논리식 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 전단사 함수 가 존재한다면, 가 서로 α-동치(α-同値, 영어: α-equivalent)라고 한다.
- 는 에 등장하는 각 변수 를 로 대체하여 얻는다. (특히, 이다.)
- 는 증가 함수이다. 즉, 임의의 에 대하여,
두 유사 논리식 및 문맥 에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 전단사 함수 가 존재한다면, 가 서로 αΓ-동치(αΓ-同値, 영어: αΓ-equivalent)라고 한다.
- 는 에 등장하는 각 변수 를 로 대체하여 얻는다. (특히, 이다.)
- 는 증가 함수이다. 즉, 임의의 에 대하여,
- 임의의 및 분지 유형 에 대하여,
버트런드 러셀이 《수학 원리》에서 제시하였다.
참고 문헌[편집]