뮤어헤드의 부등식(Muirhead's inequality, -不等式)은 로버트 프랭클린 뮤어헤드(Robert Franklin Muirhead)의 이름을 붙인 부등식이다. 뉴턴의 부등식 및 매클로린의 부등식과 유사하게 대칭적인 형태의 식에 관한 부등식 중 하나로, 상당히 강력한 부등식의 일종이다. 이 부등식을 이용하여 산술-기하 평균 부등식을 유도할 수도 있다.
공식화[편집]
2n개의 실수
와
이 다음 두 식을 만족한다고 하자.
(k<n인 모든 자연수 k에 대하여)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d139321f951bac1afaf79e9493156858abcdf92)
그러면, 뮤어헤드의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.[1]
- n개의 임의 양의 실수
에 대하여, ![{\displaystyle \sum _{sym}x_{1}^{b_{1}}x_{2}^{b_{2}}...x_{n}^{b_{n}}\leq \sum _{sym}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}...x_{n}^{a_{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e766f73e318cbc7372876ec4d4b02f5a414b90f)
여기서,
은
의 순서를 바꾸어 가능한 모든 n!개의 경우에 대한 합을 계산하는 것이다. 예를 들어,
은
을 의미한다.
같이 보기[편집]
- ↑ 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008, 83쪽.
참고 문헌[편집]
- 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008