모듈러 자기 동형

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함수해석학에서, 모듈러 자기 동형(modular自己同型, 영어: modular automorphism)은 힐베르트 공간의 한 단위 벡터로 정의되는, 폰 노이만 대수의 특별한 자기 동형이다. 이를 사용하여 인자 대수폰 노이만 대수를 분류할 수 있다.

정의[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 복소수 힐베르트 공간
  • 위에 작용하는 폰 노이만 대수
  • 다음 두 조건을 만족시키는 단위 벡터
    • 조밀 집합이다.
    • , 단사 함수이다.

이제, 다음과 같은 실수 선형 변환을 정의하자.

이는 복소수 반선형 변환이다.

정의역 조밀 집합이다.

의 극분해(영어: polar decomposition)가 다음과 같다고 하자.

,

여기서 스펙트럼 이론을 사용하여, 모든 실수 에 대하여 를 정의할 수 있다.

도미타 정리(영어: Tomita’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

여기서 에서 취한 중심화 부분환이다. 이에 따라,

자기 동형을 이룬다. 이를 에 대응하는 모듈러 자기 동형(영어: modular automorphism)이라고 한다.

콘 모듈러 군[편집]

임의의 대합환 가 주어졌을 때, 임의의 유니터리 원소 (즉, 인 원소)에 대하여

의 자기 동형을 이룬다. 이는 군 준동형

를 정의하며, 따라서 외부 자기 동형군(영어: outer automorphism group)

을 정의할 수 있다.

폰 노이만 대수 및 위 조건을 만족시키는 두 단위 벡터 에 대하여, 각각 모듈러 자기 동형을 정의할 수 있다.

이 둘은 일반적으로 서로 다르지만, 같은 외부 자기 동형류를 정의한다. 즉, 이들이 정의하는 군 준동형

은 서로 일치한다. 이 군 준동형의 상을 콘 모듈러 군(영어: Connes modular group)이라고 하며, 이는 선택한 단위 벡터에 의존하지 않는, 폰 노이만 대수 고유의 불변량이다.

성질[편집]

콘 준동형을 사용하여 폰 노이만 대수를 분류할 수 있다. 구체적으로, 폰 노이만 대수 의 콘 준동형 를 생각하자. 그 부분군이다. 만약 인자 대수라면, 다음이 성립한다.

콘 준동형의 핵 인자 대수 의 분류
I종 인자 대수 또는 II종 인자 대수
조밀 집합 (그러나 전체가 아님) III0종 인자 대수
무한 순환군 , IIIa종 인자 대수 ()
자명군 III1종 인자 대수

역사[편집]

도미타-다케사키 이론은 도미타 미노루(일본어: 冨田 稔, 1924~2015)가 1967년에 도입하였다. 그러나 도미타의 논문은 매우 난해하여 별로 주목받지 못했다. 이후 다케사키 마사미치(일본어: 竹崎 正道, 1933~)가 1970년에 도미타의 이론을 개량하여 출판하였으며,[1] 이후 학계에서 주목받게 되었다.

이후 알랭 콘이 콘 모듈러 군을 정의하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Takesaki, Masamichi (1970). 《Tomita’s theory of modular Hilbert algebras and its applications》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 128. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0065832. ISBN 978-3-540-04917-3. 

외부 링크[편집]