대수적 수론 에서 대수적 독립 집합 (代數的獨立集合, 영어 : algebraically independent set )은 어떤 부분체 계수의 자명하지 않은 다항식 을 만족시키지 않는, 체 의 부분 집합 이다.
체
L
{\displaystyle L}
부분환 인 체
K
{\displaystyle K}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
체의 확대 이다.)
L
{\displaystyle L}
부분 집합
S
⊆
L
{\displaystyle S\subseteq L}
동치 이며, 이를 만족시키는 부분 집합을
L
/
K
{\displaystyle L/K}
대수적 독립 집합 이라고 한다.
임의의
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
K
∪
S
∖
{
s
}
{\displaystyle K\cup S\setminus \{s\}}
K
≤
K
~
≤
L
{\displaystyle K\leq {\tilde {K}}\leq L}
s
{\displaystyle s}
K
~
{\displaystyle {\tilde {K}}}
초월원 이다.
임의의 자연수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
p
∈
K
[
x
0
,
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle p\in K[x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}
s
0
,
s
1
,
s
2
,
…
,
s
n
{\displaystyle s_{0},s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{n}}
p
(
s
0
,
s
1
,
…
,
s
n
)
=
0
{\displaystyle p(s_{0},s_{1},\dotsc ,s_{n})=0}
s
0
=
s
i
{\displaystyle s_{0}=s_{i}}
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}
∂
p
/
∂
x
0
=
0
{\displaystyle \partial p/\partial x_{0}=0}
R
/
Q
{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }
유한 집합
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
선형 독립 집합 이라고 하자. 린데만-바이어슈트라스 정리 (Lindemann-Weierstraß定理, 영어 : Lindemann–Weierstrass theorem )에 따르면,
{
exp
s
:
s
∈
S
}
{\displaystyle \{\exp s\colon s\in S\}}
R
/
Q
{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }
체의 확대
R
/
Q
{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }
한원소 집합
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
필요 충분 조건 은
x
{\displaystyle x}
초월수 인 것이다.
R
/
Q
{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }
{
π
}
{\displaystyle \{\pi \}}
{
e
}
{\displaystyle \{\mathrm {e} \}}
R
/
Q
{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }
{
3
+
3
/
4
}
{\displaystyle \{{\sqrt {3}}+3/4\}}
{
π
,
3
+
3
/
4
}
{\displaystyle \{\pi ,{\sqrt {3}}+3/4\}}
{
π
,
2
π
+
1
}
{\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}
p
(
x
,
y
)
=
2
x
2
−
y
+
1
{\displaystyle p(x,y)=2x^{2}-y+1}
p
(
π
,
2
π
+
1
)
=
0
{\displaystyle p({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0}
{
π
,
exp
π
,
Γ
(
1
/
4
)
}
{\displaystyle \{\pi ,\exp \pi ,\Gamma (1/4)\}}
{
π
,
exp
(
π
3
)
,
Γ
(
1
/
3
)
}
{\displaystyle \{\pi ,\exp(\pi {\sqrt {3}}),\Gamma (1/3)\}}
임의의 양의 정수
n
{\displaystyle n}
{
π
,
exp
(
π
n
)
}
{\displaystyle \{\pi ,\exp(\pi {\sqrt {n}})\}}
2018년 기준으로,
R
/
Q
{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }
{
π
+
e
}
{\displaystyle \{\pi +\mathrm {e} \}}
{
π
,
e
}
{\displaystyle \{\pi ,\mathrm {e} \}}
린데만-바이어슈트라스 정리는 카를 바이어슈트라스 가 1885년에 증명하였다.[1]
참고 문헌 [ 편집 ]
↑ Weierstraß, Karl (1885). “Zu Lindemann’s Abhandlung “Über die Ludolph’sche Zahl””. 《Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin》 (독일어) 5 : 1067–1085.
외부 링크 [ 편집 ] 
![{\displaystyle p\in K[x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8411788e9a706336db51bac8a2566890bb2ef27)
