룽게-쿠타 방법의 목록

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룽게-쿠타 방법은 다음 상미분방정식의 수치해법이다

이 수치해법은 다음의 형태를 가진다.


이 문서에 있는 모든 방법은 다음과 같이 계수를 배열한 Butcher 테이블로 정의하였다:

명시적 방법[편집]

명시적 방법은 행렬 하삼각행렬인 방법이다.

오일러[편집]

오일러 방법은 일차이다. 안정성과 정확성이 부족하기 때문에 주로 수치 해석 방법의 간단한 예제로 사용한다.

명시적 중간점 방법[편집]

(명시적) 중간점 방법은 두 단계의 이차 방법이다(아래의 암시적 중간점 방법을 보라):

호인의 방법[편집]

호인의 방법은 두 단계의 이차 방법이다(또한 명시적 사다리꼴 공식으로도 알려져 있다):

랄스톤 방법[편집]

랄스톤 방법은 두 단계 이차 방법이고 최소 지역오차 경계가 있다:

일반적인 이차 방법[편집]

쿠타 삼차 방법[편집]

고전적 사차 방법[편집]

"원조" 룽게-쿠타 방법이다.

3/8-규칙 사차 방법[편집]

이 방법은 "고전적" 방법만큼 악명높진 않지만 같은 논문에서 제시되었기 때문에 동일하게 고전적이다(Kutta, 1901).

내장형 방법[편집]

내장형 방법은 룽게-쿠타 한 단계의 지역 절단 오차를 계산하기 위해 설계되었고, 결과로 적응형 단계 크기로 오차를 조절할 수 있게 되었다. 이것은 테이블에 있는 p차와 p-1차의 두 방법을 사용한다.

낮은차수의 단계는 다음과 같다

이때 는 고차 방법과 같다. 그러면 오차는 다음과 같다

이 오차는 . 이런 종류의 방법의 Butcher 테이블은

호인-오일러[편집]

가장 간단한 적응형 룽게-쿠타 방법은 이차인 호인의 방법과 일차인 오일러 방법을 결합한 것이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

추정 오차는 단계크기를 조절하는데 사용된다.

펠버그 RK1(2)[편집]

펠버그 방법[1]은 일차와 이차의 두 방법을 가진다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

0
1/2 1/2
1 1/256 255/256
1/256 255/256 0
1/512 255/256 1/512

b 계수의 첫 줄은 일차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

보가키–샴폐인[편집]

보가키-샴폐인 방법은 이차와 삼차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

0
1/2 1/2
3/4 0 3/4
1 2/9 1/3 4/9
2/9 1/3 4/9 0
7/24 1/4 1/3 1/8

b 계수의 첫 줄은 삼차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

펠버그[편집]

룽게-쿠타-펠버그 방법은 오차와 사차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

0
1/4 1/4
3/8 3/32 9/32
12/13 1932/2197 −7200/2197 7296/2197
1 439/216 −8 3680/513 −845/4104
1/2 -8/27 2 −3544/2565 1859/4104 −11/40
16/135 0 6656/12825 28561/56430 −9/50 2/55
25/216 0 1408/2565 2197/4104 −1/5 0

b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

캐쉬-카프[편집]

캐쉬와 카프는 펠버그의 원래 아이디어를 수정했다. 캐쉬-카프 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다:

0
1/5 1/5
3/10 3/40 9/40
3/5 3/10 −9/10 6/5
1 −11/54 5/2 −70/27 35/27
7/8 1631/55296 175/512 575/13824 44275/110592 253/4096
37/378 0 250/621 125/594 0 512/1771
2825/27648 0 18575/48384 13525/55296 277/14336 1/4

b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

도르몬드–프린스[편집]

도르몬드-프린스 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다

0
1/5 1/5
3/10 3/40 9/40
4/5 44/45 −56/15 32/9
8/9 19372/6561 −25360/2187 64448/6561 −212/729
1 9017/3168 −355/33 46732/5247 49/176 −5103/18656
1 35/384 0 500/1113 125/192 −2187/6784 11/84
35/384 0 500/1113 125/192 −2187/6784 11/84 0
5179/57600 0 7571/16695 393/640 −92097/339200 187/2100 1/40

b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

암시적 방법[편집]

역 오일러[편집]

역 오일러 방법은 일차이다. 선형 확장 문제에 대해서 조건적 안정하고 진동이 없다.

암시적 중간점[편집]

암시적 중간점 방법은 이차이다. 이것은 배열 방법 중 가우스 방법이라는 그룹에서 가장 간단한 방법이다. 이는 사교 적분자이다.

가우스-르장드르 방법[편집]

이 방법들은 가우스-르장드르 구적법에 기반하고 있다. 4차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:

6차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:

로바토 방법[편집]

로바토 방법의 주요 세 방법은 IIIA, IIIB 그리고 IIIC로 불린다(고전 수학 문헌에서 기호 I과 II는 라다우 방법의 주 종류에 예약되어 있었다). 이것들은 리후엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따왔다. 모두 암시적 방법이고, 2s-2차 방법이며, 모두 c1 = 0이고 cs = 1이다. 다른 어떤 명시적 방법과는 달리, 이 방법들은 더 큰 단계도 가능하다. 로바토는 룽게와 쿠타가 고전적인 사차 방법을 만들기 전에 살았었다.

로바토 IIIA 방법[편집]

로바토 IIIA 방법은 배열 방법이다. 이차 방법은 사다리꼴 공식으로 알려져있다:

4차 방법은 다음과 같다

이 방법은 A-안정하지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

로바토 IIIB 방법[편집]

로바토 IIIB 방법은 배열 방법이 아니지만 불연속적 배열 방법으로 볼 수 있다. 이차 방법은 다음과 같다

4차 방법은 다음과 같다

로바토 IIIB 방법은 A-안정적이지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

로바토 IIIC 방법[편집]

로바토 IIIC 방법도 불연속적 배열 방법이다. 이차 방법은 다음과 같다

4차 방법은 다음과 같다

이것은 L-안정하다. 이것들은 게다가 대수적으로 안정하고, 따라서 B-안정하기 때문에 딱딱한 방정식에 적합하다.

로바토 IIIC* 방법[편집]

로바토 IIIC* 방법은 문헌에서 로바토 III 방법(Butcher, 2008), Butcher의 로바토 방법(Hairer et al, 1993), 그리고 로바토 IIIC 방법(Sun, 2000)이라고도 알려져 있다.[2] 아차 방법은 다음과 같다

4차 방법은 다음과 같다

이 방법은 A-안정하지도, B-안정하지도, L-안정하지도 않다. .

일반화된 로바토 방법[편집]

다음의 형태를 가지는 로바토 계수를 고려함으로써 세 실수 변수

,

여기서,

.

예를 들면, (Nørsett and Wanner, 1981)에 소개되었고 로바토 IIINW라고도 불리는 로바토 IIID는 다음의 형태를 가진다

그리고

이 방법은 , , , 그리고 . 이 방법은 L-안정적이다. 또한 대수적으로 안정적이기 때문에 B-안정적이다.

라다우 방법[편집]

라다우 방법은 완전히 암시적 방법이다(이런 방법의 행렬 A는 어떤 구조도 가질 수 있다). 라다우 방법은 s 단계에 2s-1차이다. 라다우 방법은 A-안정적이지만 구현하는데 비용이 많이 든다. 게다가 차수의 감소로 어려움이 있을 수 있다. 일차 라다우 방법은 역 오일러 방법과 유사하다

라다우 IA 방법[편집]

삼차 방법은 다음과 같다

5차 방법은 다음과 같다

라다우 IIA 방법[편집]

이 방법의 ci는 다음의 근이다

. 삼차 방법은 다음과 같다

5차 방법은 다음과 같다

참조[편집]

  • Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), 《Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems》, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 .
  • Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), 《Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems》, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-60452-5 .
  • Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006), 《Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations》 2판, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-30663-4 .