디리클레 에타 함수

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수학의 해석적 수론 영역에서 디리클레 에타 함수 (Dirichlet eta function)는 실수 부분이 보다 큰 복소수에 수렴하는 다음의 디리클레 급수 로 정의된다.

이러한 디리클레 급수는 리만 제타 함수 의 디리클레 급수 확장에 해당하는 번갈아 나타나는 합이 된다.이 때문에 디리클레 에타 함수는 교번 제타 함수라고도하며 로도 표기한다.

다음의 관계가 성립한다.

에타 함수에 대한 디리클레 급수 확장은 실수가 보다 큰 임의의 복소수에 대해서만 수렴되지만 임의의 복소수에 대해서도 아벨 가산이 가능하다. 이것은 에타 함수를 전체 함수로 정의하는 역할을 한다.

그리고 위의 관계에서 영역으로부터 제타 함수가에서 단순한 극으로 변형 되고, 의 극점을 나타낸다는 것을 보여주기도 한다.

동일하게,

감마 함수

또한 양의 실수 부분은 멜린 변환 (Mellin transform) 으로서 함수를 제공한다.

하디는 에타 함수에 대한 함수 방정식의 중요한 증명을 제시했다.

이로부터, 함수의 함수 방정식을 즉시 가질 수있을뿐만 아니라, 의 정의를 전체 복소 평면상으로 확장하는 또 다른 수단을 얻을 수있게 한다.

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