단위 벡터 모형

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통계역학에서, 단위 벡터 모형(單位vector模形, 영어: unit-vector model) 또는 직교군 모형(直交群模形, 영어: O(n)-model) 또는 크라트키-포로트 모형(영어: Kratky–Porod model)은 강자성 또는 중합체의 모형이다. 이 경우, 서로 이웃한 스핀(또는 단량체) 사이의 각이 라면, 에 비례하는 퍼텐셜이 존재한다. 이는 자석의 경우 이웃하는 스핀 사이의 상호 작용을 나타내며, 중합체의 경우 중합체가 뻣뻣한 정도를 나타낸다.

정의[편집]

유한 그래프 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 해밀토니언을 생각할 수 있다.

여기서 각 차원 단위 벡터이다.

이에 대한 분배 함수

차원 단위 벡터 모형이라고 한다.

물리학적 해석[편집]

단위 벡터 모형은 강자성 또는 반강자성의 고전적 모형으로 해석될 수 있다. 이 경우, 는 외부 자기장을 나타낸다.

단위 벡터 모형은 또한 중합체의 모형으로 해석될 수 있다. 여기서 는 중합체의 모양이며, 항은 중합체가 굽는 것에 대한 저항을 나타낸다. 이러한 모형을 크라트키-포로트 모형(영어: Kratky–Porod model)이라고 한다.[1] 즉, 중합체를 접으려면 에너지가 필요하다. 이 경우 항은 외부 중력장으로 해석할 수 있다.

성질[편집]

가 길이 경로 그래프이며, 이라고 하자. 이 경우, 분배 함수는 다음과 같은 꼴이 된다.

변수를

로 적으면

가 된다. 특히, 일 때 이는 단순히

이다.

특수한 경우[편집]

1차원 단위 벡터 모형은 이징 모형과 같다. 3차원 단위 벡터 모형은 보통 고전 하이젠베르크 모형(영어: classical Heisenberg model)이라고 하는데, 이는 이 모형이 SU(2) 하이젠베르크 스핀 사슬의 고전적 극한이기 때문이다.

연속 극한[편집]

연속 극한에서, 이 모형은 다음과 같은 꼴의 해밀토니언으로 나타내어진다.

여기서, 전체 길이

가 고정되게 된다.

참고 문헌[편집]

  1. Kratky, Otto; Porod, Günther (1949). “Röntgenuntersuchung gelöster Fadenmoleküle”. 《Rec. Trav. Chim. Pays-Bas》 (독일어) 68: 1106–1123.