단위 벡터 모형

통계역학에서, 단위 벡터 모형(單位vector模形, 영어: unit-vector model) 또는 직교군 모형(直交群模形, 영어: O(n)-model) 또는 크라트키-포로트 모형(영어: Kratky–Porod model)은 강자성 또는 중합체의 모형이다. 이 경우, 서로 이웃한 스핀(또는 단량체) 사이의 각이 $\theta$라면, $\cos \theta$에 비례하는 퍼텐셜이 존재한다. 이는 자석의 경우 이웃하는 스핀 사이의 상호 작용을 나타내며, 중합체의 경우 중합체가 뻣뻣한 정도를 나타낸다.

정의

유한 그래프 $\Gamma$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 해밀토니언을 생각할 수 있다.

$H(\beta ,\mathbf {h} )=\beta \sum _{ij\in {\mathtt {E}}(\Gamma )}\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}+\mathbf {h} \cdot \sum _{i\in {\mathtt {V}}(\Gamma )}\mathbf {s} _{i}$

여기서 각 $\mathbf {s} _{i}\in \mathbb {S} ^{n-1}$는 $n$차원 단위 벡터이다.

이에 대한 분배 함수

$Z_{\Gamma }(\beta ,\mathbf {h} )=\int _{(\mathbb {S} ^{n-1})^{{\mathtt {V}}(\Gamma )}}\mathrm {d} s\,\exp \left(\beta \sum _{ij\in {\mathtt {E}}(\Gamma )}\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}+\mathbf {h} \cdot \sum _{i\in {\mathtt {V}}(\Gamma )}\mathbf {s} _{i}\right)$

를 $n$차원 단위 벡터 모형이라고 한다.

물리학적 해석

단위 벡터 모형은 강자성 또는 반강자성의 고전적 모형으로 해석될 수 있다. 이 경우, $h$는 외부 자기장을 나타낸다.

단위 벡터 모형은 또한 중합체의 모형으로 해석될 수 있다. 여기서 $\Gamma$는 중합체의 모양이며, $\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}$ 항은 중합체가 굽는 것에 대한 저항을 나타낸다. 이러한 모형을 크라트키-포로트 모형(영어: Kratky–Porod model)이라고 한다. 즉, 중합체를 접으려면 에너지가 필요하다. 이 경우 $\mathbf {h} \cdot \mathbf {s} _{i}$ 항은 외부 중력장으로 해석할 수 있다.

성질

$\Gamma$가 길이 $N+1$의 경로 그래프이며, $h=0$이라고 하자. 이 경우, 분배 함수는 다음과 같은 꼴이 된다.

$Z_{N}=Z_{1}^{N}$

$Z_{1}=\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-2})\int _{0}^{\pi }(\sin \theta )^{n-2}\mathrm {d} \theta \exp(-\beta \cos \theta )$

변수를

$t=-\cos \theta$

$\mathrm {d} t=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta$

로 적으면

$Z_{1}=\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-2})\int _{-1}^{1}\mathrm {d} t\,(1-t^{2})^{(n-3)/2}\exp(\beta t)$

가 된다. 특히, $n=3$일 때 이는 단순히

$Z_{1}=\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-2})\int _{-1}^{1}\mathrm {d} t\,\exp(\beta t)=4\pi {\frac {\sinh \beta }{\beta }}$

이다.

특수한 경우

1차원 단위 벡터 모형은 이징 모형과 같다. 3차원 단위 벡터 모형은 보통 고전 하이젠베르크 모형(영어: classical Heisenberg model)이라고 하는데, 이는 이 모형이 SU(2) 하이젠베르크 스핀 사슬의 고전적 극한이기 때문이다.

연속 극한

연속 극한에서, 이 모형은 다음과 같은 꼴의 해밀토니언으로 나타내어진다.

$H=\int (\beta ({\ddot {x}}(t))^{2}+h\cdot {\dot {x}}(t))\,\mathrm {d} t$

여기서, 전체 길이

$L=\int {\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t$

가 고정되게 된다.