감마 함수의 역수

수학에서 감마 함수의 역수는 감마 함수 $Γ(z)$ 에 역수를 취한 함수이다.

f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},

감마 함수는 복소 평면 전체에서 유리형 함수이고 영점이 없으므로 그 역수는 전해석 함수이다.

이 함수는 감마 함수를 수치 근사하는 데에 사용되며 일부 소프트웨어 라이브러리에서는 이를 일반 감마 함수와 별도로 제공한다.

카를 바이어슈트라스는 이 함수를 "factorielle"이라고 부르고 이를 바이어슈트라스의 곱 정리에 사용했다.

무한곱 전개[편집]

감마 함수의 무한곱꼴 정의에서 다음과 같이 유도된다. 모든 복소수 $z$ 에서 성립하며, $γ$ 는 오일러-마스케로니 상수이다.

{\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}

$z =0$ 에서의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.^[1]

{\frac {1}{\ \Gamma (z)\ }}=z+\gamma \ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{4}+\cdots \

여기서 $γ$ 는 오일러-마스케로니 상수이다. $n > 2$ 일 때 $z n$ 항의 계수 $a n$ 은 다음 점화식이나 적분으로 계산할 수 있다.^[2]^[3] $ζ$ 는 리만 제타 함수이다. 적분꼴은 2014년에 Fekih-Ahmed이 발견했다.^[3]

a_{n}={\frac {\ {a_{2}\ a_{n-1}+\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j+1}\ \zeta (j)\ a_{n-j}}\ }{n-1}}={\frac {\ \gamma \ a_{n-1}-\zeta (2)\ a_{n-2}+\zeta (3)\ a_{n-3}-\cdots \ }{n-1}}

a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ \operatorname {Im} {\Bigl [}\ {\bigl (}\log(t)-i\pi {\bigr )}^{n}\ {\Bigr ]}\ \mathrm {d} t~.

처음 30개의 항의 값은 다음과 같다.

$a_{n}$ 의 근사공식은 다음과 같다.^[3]

a_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{\ (n-1)!\ }}\ {\sqrt {{\frac {2}{\ \pi n\ }}\ }}\ \operatorname {Im} \left({\frac {\ z_{0}^{\left(1/2-n\right)}\ e^{-nz_{0}}\ }{\sqrt {1+z_{0}\ }}}\right)\ ,

여기서 $z_{0}=-{\frac {1}{n}}\exp \!{\Bigl (}W_{-1}(-n){\Bigr )}\ ,$ $W_{-1}$ 는 람베르트 W 함수의 -1번째 분지이다.

양의 실수축 위에서의 이상적분 값은 다음과 같으며, 이를 프랑세즈-로빈슨 상수라고 한다.

\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024

또한 다음과 같은 공식이 알려져 있다.^[4]

\int _{0}^{\infty }{\dfrac {a^{x}}{\Gamma (x)}}\,dx=ae^{a}+a\int _{0}^{\infty }{\dfrac {e^{-ax}}{\log ^{2}(x)+\pi ^{2}}}\,dx

↑ Weisstein, Eric W. “Gamma function”. 《mathworld.wolfram.com》 (영어). 2021년 6월 15일에 확인함.
↑ Wrench, J.W. (1968). “Concerning two series for the gamma function”. 《Mathematics of Computation》 22 (103): 617–626. doi:10.1090/S0025-5718-1968-0237078-4. and

Wrench, J.W. (1973). “Erratum: Concerning two series for the gamma function”. 《Mathematics of Computation》 27 (123): 681–682. doi:10.1090/S0025-5718-1973-0319344-9.
↑ ^가 ^나 ^다 Fekih-Ahmed, L. (2014). “On the power series expansion of the reciprocal gamma function”. 《HAL archives》.
↑ Henri Cohen (2007). 《Number Theory Volume II: Analytic and Modern Tools》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 240. doi:10.1007/978-0-387-49894-2. ISBN 978-0-387-49893-5. ISSN 0072-5285.