파스칼의 삼각형
파스칼의 삼각형은 수학에서 이항계수를 삼각형 모양의 기하학적 형태로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼에 의해 이름 붙여졌으나 이미 수세기 전에 다른 사람들에게서 연구된 것이다.
단순한 형태로, 파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.
- 먼저 첫 번째 줄에는 숫자 1을 쓴다.
- 그 다음 줄을 만들려면, 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다. 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다.
수학적으로, 이 구조는 파스칼의 법칙을 사용하여 아래와 같이 표현한다. n 번째 줄의 k 번째 값을 라고 하면, 이 값은
- ()
으로 정의된다. 이때,
조합 배열의 예
6줄
파스칼의 삼각형의 처음 6열. 네 번째 줄의 1과 3을 더해 다섯 번째 줄의 4를 만든다.
10줄
17줄
1 -> n=0 일때 1 1 -> n=1 일때 1 2 1 -> n=2 일때 1 3 3 1 . 1 4 6 4 1 . 1 5 10 10 5 1 . 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1
파스칼의 삼각형의 응용
파스칼의 삼각형은 이항 전개에서 계수들의 값을 계산하는 데에 사용된다. 예를 들어
라는 식에서, 각 계수의 값인 1, 2, 1은 파스칼의 삼각형의 3번째 줄에 대응된다.
일반적으로,
와 같은 전개식에서, 가 성립한다. 즉, 는 파스칼의 삼각형의 (n+1) 번째 줄의 (i+1) 번째 값과 대응된다.
일반화
파스칼의 삼각형은 더 높은 차원으로 확장하여 일반화할 수 있다. 3차원 형태는 파스칼의 피라미드 또는 파스칼의 4면체로 부른다. 더 높은 차원의 유사체를 일반적으로 총칭하여 "파스칼의 단체"라고 말한다.