프로토타일
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테셀레이션과 관련된 수학 이론에서, 프로토타일(영어: prototile)은 테셀레이션에 쓰인 타일의 모양이다.[1]
정의[편집]
테셀레이션은 '타일'이라는 닫힌 모양으로 평면 등의 공간을 채우는 것을 말하는데, 이때 타일은 내부가 서로소 집합이어야 한다(겹치지 않아야 한다). 다른 타일과 합동인 타일도 있을 수 있다. 테셀레이션에서 쓰인 타일 집합을 S라 하자. 그러면 프로토타일의 집합 R에서는 어느 두 도형도 서로 합동인 것이 없고, S에 있는 모든 타일은 R에 있는 타일 하나와 항상 합동이어야 한다.[2]
테셀레이션에서 다양한 프로토타일 집합 중에서 선택해서 쓸 수 있다. 프로토타일 중 어느 하나를 평행, 회전, 대칭 이동시키면 프로토타일 집합이 달라질 수 있기 때문이다. 하지만 프로토타일 집합은 모두 크기가 같아서, 프로토타일의 개수는 잘 정의된다. 테셀레이션에서 프로토타일 개수가 1개뿐이면 일면(一面, 영어: monohedral) 테셀레이션이라고 한다.
비주기성[편집]
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수학의 미해결 문제 이차원 비주기적 프로토타일이 존재하는가?
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어떤 프로토타일 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션이 된다면, 프로토타일이 비주기적이라고 한다. 주기적 테셀레이션을 하나도 이루지 않고 비주기적 테셀레이션만 이루는 1개의 이차원 모양이 존재하는지 아직 알려져 있지 않다(아인슈타인 문제). 즉 일면 비주기적 프로토타일 집합이 존재하는지가 열린 문제이다. 소콜라-테일러 타일은 2차원 비주기적 타이링을 만들지만, 순수하게 그 모양보다는 조합적으로 연결되는 상태로 만들어진다. 고차원에서 이 문제는 해결되었는데, 슈미트-콘웨이-댄저 타일은 3차원 유클리드 공간을 주기적으로 채울 수 없고 비주기적으로만 채우는 일면 프로토타일이다.
각주[편집]
- ↑ Cederberg, Judith N. (2001), 《A Course in Modern Geometries》, Undergraduate Texts in Mathematics 2판, Springer-Verlag, 174쪽, ISBN 978-0-387-98972-3.
- ↑ Kaplan, Craig S. (2009), 《Introductory Tiling Theory for Computer Graphics》, Synthesis Lectures on Computer Graphics and Animation, Morgan & Claypool Publishers, 7쪽, ISBN 978-1-60845-017-6.
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