푸앵카레 쌍대성

대수적 위상수학에서 푸앵카레 쌍대성(Poincaré雙對性, 영어: Poincaré duality)은 호몰로지 군과 코호몰로지 군에 대한 대응성이다.

정의

정수 계수

$M$이 (경계가 없는) 콤팩트 $n$차원 유향 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 방향은 기본류

$[M]\in \operatorname {H} _{n}(M;\mathbb {Z} )$

를 정의한다.

그렇다면, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.

$\operatorname {H} ^{k}(M;\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )$

$[\alpha ]\mapsto [M]\smile [\alpha ]$

여기서 $\smile$은 호몰로지류와 코호몰로지류의 합곱이다.

이 사상은 아벨 군의 동형 사상을 이루며, 이를 푸앵카레 쌍대성이라고 한다.

베티 수 $b_{k}$는 호몰로지 및 코호몰로지의 차원이므로, 다음이 성립한다.

$b_{k}=b_{n-k}$.

정수 계수에서 성립하므로, 사실 위의 푸앵카레 쌍대성은 임의의 아벨 군 계수에 대하여 마찬가지로 성립한다.

𝔽₂ 계수

$M$이 (경계가 없는) 콤팩트 $n$차원 다양체 $M$이 주어졌다고 하자. ($M$이 가향 다양체일 필요가 없다.)

이 경우, 기본류는 $\mathbb {F} _{2}$ 계수에서 잘 정의된다.

$[M]\in \operatorname {H} _{n}(M;\mathbb {F} _{2})$

이 경우, 마찬가지로 다음과 같은, $\mathbb {F} _{2}$-벡터 공간의 동형 사상이 존재한다.

$\operatorname {H} ^{k}(M;\mathbb {F} _{2})\to \operatorname {H} _{n-k}(M;\mathbb {F} _{2})$

$[\alpha ]\mapsto [M]\smile [\alpha ]$

성질

짝수 $2k$차원 콤팩트 다양체 $M$이 주어졌다고 하자. 또한, 다음과 같은 두 경우를 생각하자.

• $K=\mathbb {Z}$이며, $M$은 유향 다양체
• $K=\mathbb {F} _{2}$

두 경우 다 기본류 $[M]\in \operatorname {H} _{2k}(M;K)$가 존재한다. 이 경우, 푸앵카레 쌍대성에 의하여, $K$-가군 $\operatorname {H} _{k}(M;K)$ 위에 다음과 같은 이차 형식이 존재한다.

$\operatorname {H} _{k}(M;K)\otimes \operatorname {H} _{k}(M;K)\to K$

$([M]\smile [\alpha ])\otimes ([M]\smile [\beta ])\mapsto [M]\smile ([\alpha ]\frown [\beta ])$

이를 $M$의 교차 형식(영어: intersection form)이라고 한다.

역사

앙리 푸앵카레가 1893년에 베티 수에 대한 관계로 제시하였다. 푸앵카레는 1895년에 푸앵카레 쌍대성의 증명을 발표하였으나, 덴마크의 수학자 포울 헤고르(덴마크어: Poul Heegaard)가 오류를 지적하였다. 푸앵카레는 이 논문의 속편에서 수정한 다른 증명을 발표하였다.

1930년대에 코호몰로지가 발견되면서, 푸앵카레 쌍대성이 베티 수를 넘어서 호몰로지와 코호몰로지 사이의 관계라는 사실이 밝혀졌다.

참고 문헌

• “Poincaré duality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Poincaré duality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Poincaré duality”. 《nLab》 (영어).