인자 대수

함수해석학에서 인자 대수(因子代數, 영어: factor algebra)는 ‘분해’되지 못하는 폰 노이만 대수이다. 모든 폰 노이만 대수는 이를 구성하는 인자 대수들로 유일하게 표현된다. 양자역학에서, 인자 대수는 물리계를 구성되는 국소화된 ‘요소’로 해석된다.

정의

폰 노이만 대수 $A$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 폰 노이만 대수를 인자 대수라고 한다.

• $\operatorname {Z} (A)=\mathbb {C} 1_{A}$. 즉, $A$의 중심은 모두 1의 스칼라배이다.
• 어떤 복소수 힐베르트 공간 표현 $A\hookrightarrow \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$에 대하여, $A\cap \operatorname {C} _{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(A)=\mathbb {C}$이다.
• 어떤 복소수 힐베르트 공간 표현 $A\hookrightarrow \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$에 대하여, $\operatorname {C} _{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(\operatorname {C} _{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(A\operatorname {C} _{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(A)))=\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$이다.

여기서

• ${\mathcal {H}}$는 어떤 복소수 힐베르트 공간이다.
• $\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$는 ${\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ 유계 작용소의 폰 노이만 대수이다.
• $\operatorname {C} _{\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}(-)$는 $\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$ 속에서 취한 중심화 부분환이다.

위 세 조건 가운데, 마지막 조건은 ${\mathcal {H}}$ 위의 모든 유계 작용소를 $A$의 원소 및 $A$와 가환하는 원소들의 곱들의 열의 (약한 작용소 위상 또는 강한 작용소 위상에서의) 극한으로 나타낼 수 있다는 뜻이다. 다시 말해, ${\mathcal {H}}$를 상태 공간으로 하는 양자 역학 계는 $A$에 속하는 관찰 가능량들과 $A$와 ‘분리된’ (즉, 가환하는) 관찰 가능량들로 구성되며, $A$는 $\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$를 구성하는 ‘인자’로 여길 수 있다.

특별한 원소

C* 대수 $A$의 원소 $a\in A$ 가운데, $a=a^{2}=a^{*}$인 것을 사영원(射影元, 영어: projection)이라고 하고, 사영원들의 집합을 $\operatorname {Proj} (A)$로 표기하자.

복소수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 위에 표현된 폰 노이만 대수 ${\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$의 사영원 $A\in {\mathcal {A}}$의 상 $A{\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {H}}$으로 나타내어지는 부분 공간을 ${\mathcal {A}}$에 속하는 부분 공간이라고 하자. 그렇다면, 이는 ${\mathcal {A}}$의 사영원들의 집합과 ${\mathcal {A}}$에 속하는 부분 공간들의 집합 사이에 일대일 대응을 정의한다.

폰 노이만 대수 ${\mathcal {A}}$의 두 사영원 $A,B\in {\mathcal {A}}$에 대하여, 만약 $A=CC^{*}$이자 $B=C^{*}C$인 $C\in {\mathcal {A}}$가 존재한다면, $A$와 $B$가 서로 머리-폰 노이만 동치(영어: Murray–von Neumann equivalent)라고 하고, $A\sim B$로 표기하자. 이는 ${\mathcal {A}}$의 사영원들의 집합 위의 동치 관계를 이룬다.

${\mathcal {A}}$의 사영원들의 집합 위에 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.

$A\lesssim B\iff \exists C\in \operatorname {Proj} ({\mathcal {A}})\colon A\sim C,\;C{\mathcal {H}}\subseteq B{\mathcal {H}}$

폰 노이만 인자의 경우, 이는 사실 사영원들의 머리-폰 노이만 동치류들의 집합 위의 전순서를 이룬다.

${\mathcal {A}}$의 사영원 $A\in \operatorname {Proj} ({\mathcal {A}})$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 유한 사영원(영어: finite projection)이라고 한다.

$\forall B\in \operatorname {Proj} ({\mathcal {A}})\colon B{\mathcal {H}}\subsetneq A{\mathcal {H}}\implies B\not \sim A$

분류

인자들은 통상적으로 Ⅰ종 · Ⅱ₁종 · Ⅱ_∞종 · Ⅲ종으로 분류된다. 이들의 정의는 각각 다음과 같다.

• Ⅰ종 인자 $A$의 경우, $\operatorname {Proj} (A)\setminus \{0\}$은 최소 원소를 갖는다. 즉, 가장 작은, 0이 아닌 사영원 동치류가 존재한다.
• Ⅱ종 인자는 Ⅰ종 인자가 아니며, 0이 아닌 유한 사영원을 갖는다.
  • Ⅱ₁종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이다.
  • Ⅱ_∞종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이 아니다.
• Ⅲ종 인자는 Ⅰ종 인자나 Ⅱ종 인자가 아니다.

이들에 대해서는 각각 다음과 같은 구조 정리가 알려져 있다.

• Ⅱ₁종 인자는 일반적으로 복잡하다.
• Ⅱ_∞종 인자는 항상 Ⅰ종 인자와 Ⅱ₁종 인자로부터 구성될 수 있다.
• Ⅲ종 인자는 항상 Ⅱ₁종 인자로부터 구성될 수 있다.

즉, 폰 노이만 대수의 분류는 사실상 Ⅱ₁종 인자의 분류로 귀결된다.

Ⅰ종 인자 대수

Ⅰ종 인자 대수는 어떤 복소수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$에 대하여 $\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$와 C* 대수로서 동형이다.

구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$의 임의의 단위 벡터 $|v\rangle \in {\mathcal {H}}$에 대하여, $|v\rangle \langle v|$는 0이 아닌 유한 사영원이다.

복소수 힐베르트 공간은 그 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류된다. 차원이 기수 $\kappa$일 때, 이에 대응하는 Ⅰ종 인자 대수를 $\operatorname {I} _{\kappa }$형이라고 한다. (분해 가능 복소수 힐베르트 공간의 경우 차원이 가산 기수이다. 이 경우 $\aleph _{0}$차원 경우는 보통 $\operatorname {I} _{\infty }$으로 표기된다.)

Ⅱ_∞종 인자 대수

Ⅱ_∞종 인자 대수는 항상 Ⅱ₁종 인자 대수와 무한 차원 Ⅰ종 인자 대수의 텐서곱으로 표현될 수 있다.

Ⅲ종 인자 대수

Ⅲ종 인자의 분류 이론은 도미타-다케사키 이론이라고 한다.

구체적으로, 도미타-다케사키 이론에서는 각 폰 노이만 대수 $A$에 대하여 어떤 음이 아닌 실수 집합 $\operatorname {S} (A)\subseteq [0,\infty )$를 대응시키며, 이를 $A$의 콘 스펙트럼(영어: Connes spectrum)이라고 한다. 만약 $A$가 Ⅲ종 인자 대수일 경우, 가능한 콘 스펙트럼들은 다음과 같다.

• $\operatorname {S} (A)\setminus \{0\}=\{1\}$. 이는 Ⅲ₀종 인자 대수라고 한다.
• $\operatorname {S} (A)\setminus \{0\}=\{\dotsc ,\lambda ^{-2},\lambda ^{-1},1,\lambda ,\lambda ^{2},\lambda ^{3},\dotsc \}\quad (0<\lambda <1)$. 이는 Ⅲ_λ종 인자 대수라고 한다.
• $\operatorname {S} (A)\setminus \{0\}=\mathbb {R} ^{+}$. 이는 Ⅲ₁종 인자 대수라고 한다.

($\operatorname {S} (A)\setminus \{0\}$은 항상 $\mathbb {R} ^{+}$의 닫힌 부분군이므로 다른 가능성은 존재하지 않는다.)

역사

인자 대수의 개념 및 Ⅰ종· Ⅱ종·Ⅲ종 인자 대수로의 분류는 존 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(영어: Francis Joseph Murray, 1911~1996)가 양자역학을 분석하기 위하여 도입하였다.

도미타-다케사키 이론을 통한 Ⅲ종 인자 대수의 분류는 알랭 콘이 1976년에 완료하였다.

참고 문헌

• Yngvason, Jakob (2004). “The role of Type I factors in quantum field theory” (영어). arXiv:math-ph/0411058. 

외부 링크

• “Factor algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Von Neumann algebra factor”. 《nLab》 (영어).