유리근 정리

대수학에서, 유리근 정리(有理根定理, 영어: rational root theorem)는 정수 계수 다항식이 주어진 유리수를 근으로 할 필요 조건을 제시하는 정리이다.

정의

유일 인수 분해 정역 $R$의 다항식환을 $R[x]$라고 하고, 분수체를 $\operatorname {Frac} R$라고 하자. 다항식

$p(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots r_{1}x+r_{0}\in R[x]$

가 분수체 원소 $r/s\in \operatorname {Frac} R$를 근으로 가지며, $\gcd\{r,s\}=1$이라고 하자. 유리근 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

$r\mid r_{0}$

$s\mid r_{n}$

특히, 만약 $p(x)$가 일계수 다항식이라면 ($r_{n}=1$이라면), $r/s\in R$는 환의 원소이다.^{:185, §IV.3, Proposition 3.3}

증명

$r/s$가 $p(x)$의 근이므로,

${\begin{aligned}0=s^{n}0=s^{n}p\left({\frac {r}{s}}\right)&=s^{n}\left(r_{n}{\frac {r^{n}}{s^{n}}}+r_{n-1}{\frac {r^{n-1}}{s^{n-1}}}+\cdots r_{1}{\frac {r}{s}}+r_{0}\right)\\&=r_{n}r^{n}+r_{n-1}r^{n-1}s+\cdots +r_{1}rs^{n-1}+r_{0}s^{n}\end{aligned}}$

이다. 따라서

$r\mid -r_{n}r^{n}-r_{n-1}r^{n-1}s-\cdots -r_{1}rs^{n-1}=r_{0}s^{n}$

$s\mid -r_{n-1}r^{n-1}s-\cdots -r_{1}rs^{n-1}-r_{0}s^{n}=r_{n}r^{n}$

이다. 또한, $\gcd\{r,s^{n}\}=\gcd\{s,r^{n}\}=1$이므로,

$r\mid r_{0}$

$s\mid r_{n}$

이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Rational zero theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Rational root theorem”. 《PlanetMath》 (영어).