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지수함수[편집]
로그함수의 역함수로서의 정의[편집]
로그함수를 지수함수의 역함수로서 정의하지 않고 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수함수는 로그함수의 역함수로 정의한다.
자연로그를 다음과 같이 정의하자.
이때 는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 라고 표기한다.
이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여
즉, 이다. 또한, 이므로, 이다.
그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.
- 로 놓으면
- 이므로 로그의 성질에 의하여
- 따라서 가 성립한다.
로그함수 는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 를 만족하는 해 가 존재하며, 단사함수이므로 실수 는 단 한개만 존재한다. 방정식 의 해를 라 하자.
이제 로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다.
수학적 귀납법을 이용하면 가 자연수일 때 임을 보일 수 있다.
이제 일반적인 밑을 가진 지수를 로 정의하자.
마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 에 대하여 임을 보일 수 있다.
증명은 다음과 같다.
- 1에 대하여 성립
- 에 대하여 성립한다는 가정 아래, 에 대하여 성립
-
- 양변에 a를 곱하면
- 위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.
- 따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수 에 대하여 로 정의된 는 a를 x번 곱한 것과 같다.