베타 함수

베타 함수(Beta function)은 다음과 같이 정의되는 함수이다.

$\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$

이때 x와 y는 실수부가 0보다 큰 복소수이다. 감마 함수와 함께 오일러 적분(Euler integral)으로 부르기도 한다.

성질

• 대칭성이 있다. 즉, $\mathrm{\Beta}(x,y) = \mathrm{\Beta}(y,x)$가 성립한다.
• $\mathrm{\Beta}(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$, 여기에서 $\Gamma(x)$는 감마 함수.
• $\mathrm{\Beta}(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0$
• $\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0$
• $\mathrm{\Beta}(x,y) = \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)}$, 여기에서 $(x)_n = x(x - 1)(x - 2) ... (x - n + 1)$.

또한 감마 함수가 계승을 일반화한 것으로 생각할 수 있는 것처럼, 베타 함수는 이항계수의 일반화로 생각할 수 있다.

${n \choose k} = \frac1{(n+1) \mathrm{B}(n-k+1, k+1)}$