멱영 공간

호모토피 이론에서 멱영 공간(冪零空間, 영어: nilpotent space)은 기본군이 멱영군이며 고차 호모토피 군에 특별히 간단하게 작용하는 위상 공간이다. 멱영 공간의 경우 유리수 호모토피 이론을 깔끔하게 전개할 수 있다.

정의

점을 가진 공간 $(X,\bullet )$가 주어졌다고 하자. 이 경우, 기본군 $\pi _{1}(X,\bullet )$은 고차 호모토피 군 $\pi _{n}(X,\bullet )$ 위에 다음과 같이 작용한다. 우선, $\{\bullet \}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{n}$은 쌍대올뭉치이므로, 호모토피 확장 성질을 사용하여 임의의 경로

$\{\bullet \}\times [0,1]\to X$

$(\bullet ,0)\mapsto \bullet _{X}$

$(\bullet ,1)\mapsto \bullet _{X}'$

및 호모토피 군의 원소

$f\colon (\mathbb {S} ^{n},\bullet _{\mathbb {S} ^{n}})\to (X,\bullet _{X})$

$[f]\in \pi _{n}(X,\bullet _{X})$

에 대하여 호모토피류

$f'\colon (\mathbb {S} ^{n},\bullet _{\mathbb {S} ^{n}})\to (X,\bullet _{X}')$

$[f']\in \pi _{n}(X,\bullet _{X}')$

를 유일하게 정의할 수 있다. 만약 $\bullet _{X}'=\bullet _{X}$인 경우 위와 같은 경로의 호모토피류는 기본군 $\pi _{1}(X,\bullet )$의 원소이므로, 이는 군의 작용

$\pi _{1}(X,\bullet )\times \pi _{n}(X,\bullet )\to \pi _{n}(X,\bullet )$

을 정의한다.

주어진 점을 가진 공간 $(X,\bullet _{X})$에서, 만약 각 $i\in \mathbb {N}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 유한한 길이의 호모토피 군 중심열

$\pi _{i}(X,\bullet _{X})=G_{1}^{i}\vartriangleright G_{2}^{i}\vartriangleright \dotsb \vartriangleright G_{n_{i}}^{i}=1$

이 존재한다면, $(X,\bullet _{X})$를 멱영 공간이라고 한다.

• 임의의 $i\in \mathbb {N}$ 및 $1\leq j\leq n_{i}$에 대하여, $\pi _{1}(X,\bullet _{X})\cdot G_{j}^{i}\subseteq G_{j+1}^{i}$이다. 즉, $\pi _{1}(X,\bullet _{X})$의 $G_{j}^{i}/G_{j+1}^{i}$ 위의 작용은 자명하다.

(특히, $i=1$인 경우의 조건은 기본군 $\pi _{1}(X,\bullet _{X})$이 멱영군인 것이다.)

마찬가지로, 주어진 점을 가진 공간 $(X,\bullet _{X})$에서, 만약 기본군 $\pi _{1}(X,\bullet _{X})$의, 임의의 차수 호모토피 군에 대한 작용이 모두 자명하다면, $(X,\bullet _{X})$를 단순 공간(單純空間, 영어: simple space)이라고 한다. (특히, $i=1$인 경우의 조건에 따라 기본군 $\pi _{1}(X,\bullet _{X})$아 아벨 군이어야 한다.)

성질

모든 단순 공간은 멱영 공간이다. 단일 연결 공간은 (기본군이 자명군이므로) 항상 단순 공간이다.

역사

에마누엘 드로르 파르준(히브리어: עִמָּנוּאֵל דְרוֹר פַרְג׳וּן, 영어: Emmanuel Dror Farjoun)이 도입하였다.

예

홀수 차원 실수 사영 공간은 멱영 공간이다. 그러나 (예를 들어) 실수 사영 평면은 멱영 공간이 아니다.

외부 링크

• “Nilpotent topological space”. 《nLab》 (영어). 
• “Nilpotent homotopy type”. 《nLab》 (영어). 
• “Simple space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Actions of the fundamental group”. 《Topospaces》 (영어).