리 쌍대대수

리 대수 이론에서, 리 쌍대대수(Lie雙對代數, 영어: Lie coalgebra)는 리 대수의 정의를 쌍대화하여 얻어지는 쌍대대수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 리 쌍대대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-가군 $V$
• $K$-가군 준동형 $\mathrm {d} \colon V\to V\wedge V$

여기서

$V\wedge V={\frac {V\otimes V}{(u\otimes u\colon u\in V)}}$

는 외대수의 2차 성분이다. 이를 외대수 $\textstyle \bigwedge V$ 위에 다음과 같은 곱 규칙을 따르는 미분으로 유일하게 확장할 수 있다.

$\mathrm {d} \colon \bigwedge ^{\bullet }V\to \bigwedge ^{\bullet +1}V$

$\mathrm {d} (a\wedge b)=(\mathrm {d} a)\wedge b+(-)^{\deg a}a\wedge \mathrm {d} b$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $\textstyle (\bigwedge ^{\bullet }V,\mathrm {d} )$는 공사슬 복합체를 이룬다. 즉, $\mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0$이어야 한다.

리 괄호를 통한 정의

만약 $K$가 표수 2 또는 표수 3이 아닌 체이며, $V$가 유한 차원 $K$-벡터 공간이라고 할 때, 다음 두 데이터가 서로 동치이다.

• $V$ 위의 리 쌍대대수 구조 $\mathrm {d}$
• $V^{*}$ 위의 리 대수 구조 $[-,-]$

구체적으로, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

$\langle a|[x,y]\rangle =\langle \mathrm {d} a|x\wedge y\rangle$

여기서 $\langle -|-\rangle$은 $\textstyle \bigwedge E$와 그 등급별 쌍대 공간 사이의 내적이다.

리 준쌍대대수

리 준쌍대대수(Lie準雙對代數, 영어: Lie coalgebroid)는 다음과 같다.

• 매끄러운 다양체 $M$
• (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• $\bullet \bigwedge E$ 위의 미분을 정의하는 벡터 다발 사상 $\mathrm {d} \colon E\to E\wedge _{M}E$. 이는 $\textstyle \bigwedge ^{\bullet }E$ 위의 공사슬 복합체 구조를 정의하여야 한다.

이는 쌍대화를 통하여 $E^{*}$ 위의 리 준대수 구조와 동치이다.

예

매끄러운 다양체 $M$ 위의 공변접다발 $\mathrm {T} ^{*}M$은 리 준쌍대대수를 이루며, 그 쌍대괄호는 1차 미분 형식의 외미분이다. 이는 미분 형식들의 공사슬 복합체

$(\Omega (M),\mathrm {d} )$

를 정의한다.

참고 문헌

• Michaelis, Walter (1980). “Lie coalgebras”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 38 (1): 1–54. doi:10.1016/0001-8708(80)90056-0. ISSN 0001-8708. MR 594993.