시그마 모형

{{양자장론}] 양자장론에서, 비선형 시그마 모형(非線型σ模型, nonlinear sigma model)은 두 미분다양체 사이의 매끈한 함수를 장으로 삼는 양자장론의 한 종류다. 끈 이론에서 쓰인다.

역사

머리 겔만과 모리스 레비(Maurice Lévy)가 베타 붕괴를 설명하기 위해 1960년에 이 종류의 모형을 최초로 고안하였다. 여기서 시그마(σ)는 겔만-레비 모형에서 스칼라 중간자장의 하나였다.

정의

$M$은 시공간을 나타내는 미분다양체이고, $T$는 과녁 공간(target space)이라고 불리는 미분다양체이다. $M$ 위의 계량 텐서는 $g_{\mu \nu }$로, $T$ 위의 계량 텐서는 $g_{ab}$로 쓰자. $\Sigma \colon M\to T$가 매끈한 함수라고 하자 ($a$는 기타 필요한 지수). 그렇다면 그 도함수는 $\partial _{\mu }\Sigma ^{a}$이다.

이 장으로 적을 수 있는 일반적인 라그랑지언은 다음과 같다.

${\mathcal {L}}=g^{\mu \nu }g_{ab}\partial _{\mu }\Sigma ^{a}\partial _{\nu }\Sigma ^{b}-V(\Sigma )$.

여기서 $T$가 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$이나 원 $\mathbb {S} ^{1}$과 같은 단순한 공간일 경우에는 이를 선형 시그마 모형({{lang|en|linear sigma model]})이라고 하고, 그렇지 않을 경우에는 비선형 시그마 모형(nonlinear sigma model)이라고 한다.

성질

비선형 시그마 모형은 $M$이 3차원 이상일 경우에는 재규격화할 수 없다.

시그마 모형의 장 $\Sigma \colon M\to T$는 $M$을 $T$ 속에 매장(embedding)하는 것으로 해석할 수 있다. 즉 $T$ 속에 $\dim M$ 차원의 브레인(brane)의 움직임을 나타낸다. 끈 이론에서는 끈은 2차원 브레인이므로 $M$은 끈 세계면을 나타내는 2차원 다양체다. $T$는 시공간으로, 끈 이론의 종류에 따라 26차원이거나 10차원이다. 끈 이론에서 다루는 2차원 시그마 모형은 재규격화할 수 있다. 이는 대니얼 프리던(Daniel Friedan)이 1980년에 증명하였다.

비상대론적 양자역학은 함수 $\psi (t)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$에 대한 경로 적분으로 정의된다. 따라서 비상대론적 양자역학은$M=\mathbb {R}$, $T=\mathbb {R}$인 (선형) 시그마 모형이다.

참고 문헌

• Ketov, Sergei V. (2009). “Nonlinear sigma model”. 《Scholarpedia》 4 (1): 8508. doi:10.4249/scholarpedia.8508.