티호노프 공간: 두 판 사이의 차이

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2020년 5월 21일 (목) 00:49 판

일반위상수학에서, 티호노프 공간(Тихонов空間, 영어: Tychonoff space) 또는 T_3½ 공간(영어: T_3½ space)은 점과 닫힌집합을 연속 함수로 분리할 수 있는 하우스도르프 공간이며, 이는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 공간인 조건과 동치이다.

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완비 정칙 공간(完備正則空間, 영어: completely regular space)이라고 한다.

(점과 닫힌집합의 실함수를 통한 분리) 임의의 닫힌집합 $C\subseteq X$ 및 $x\in X\setminus C$ 에 대하여, $f(x)=0$ 이며 $f(C)=\{1\}$ 인 연속 함수 $f\colon X\to [0,1]$ 이 존재한다.^[1]^:231
(균등화 가능성 영어: uniformizability) $X$ 위에 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다.

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 티호노프 공간이라고 한다.

$X$ 는 콜모고로프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
$X$ 는 T₁ 공간이며 완비 정칙 공간이다.^[1]^:231
$X$ 는 하우스도르프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
$X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.^[1]^:231
$X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간의 조밀 집합과 위상 동형이다.^[1]^:231
$X$ 는 $[0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}$ 의 부분 집합과 위상동형이다.^[1]^:231 여기서 ${\mathcal {C}}(X,Y)$ 는 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 연속 함수들의 집합이며, $[0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}$ 는 표준 위상을 부여한 단위 구간 $[0,1]$ 의 $|{\mathcal {C}}(X,[0,1])|$ 개 만큼의 곱공간이다. 이는 티호노프의 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
$X$ 에서 그 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta X$ 로 가는 연속 함수 $\iota \colon X\to \beta X$ 에 대하여, $X$ 는 그 상과 위상 동형이다.
$X$ 위에, 그 위상과 호환되는 하우스도르프 균등 공간 구조가 존재한다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[1]^:231–232

완비 정칙 공간 / 티호노프 공간의 부분 공간은 완비 정칙 공간 / 티호노프 공간이다. 완비 정칙 공간 / 티호노프 공간의 임의 개수 곱공간 역시 완비 정칙 공간 / 티호노프 공간이다.^[2]^:141^[3]^:211

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 유정옥 (2013). 《알기쉬운 위상수학》 2판. 교우사. ISBN 978-89-8172-528-0. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑ James, I. M. (1987). 《Topological and Uniform Spaces》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4716-6. ISBN 978-1-4612-9128-2. ISSN 0172-6056. Zbl 0625.54001.
↑ Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.

“Tikhonov space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Tychonoff space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Completely regular space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Tychonoff space”. 《nLab》 (영어).

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 :[[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]](T<sub>4</sub>) ⊊ 티호노프 공간(T<sub>3½</sub>) ⊊ ([[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]](T<sub>3</sub>) ∩ [[완비 하우스도르프 공간]])
-티호노프 공간의 부분 공간은 티호노프 공간이다. 티호노프 공간의 임의 개수 [[곱공간]] 역시 티호노프 공간이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
+완비 정칙 공간 / 티호노프 공간의 [[부분 공간]]은 완비 정칙 공간 / 티호노프 공간이다. 완비 정칙 공간 / 티호노프 공간의 임의 개수 [[곱공간]] 역시 완비 정칙 공간 / 티호노프 공간이다.<ref name="James">{{서적 인용
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+|이름=I. M.
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+|출판사=Springer-Verlag
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