이차 리 대수

리 군론에서, 이차 리 대수(二次Lie代數, 영어: quadratic Lie algebra)는 리 괄호와 호환되는 비퇴화 쌍선형 형식이 주어진 유한 차원 리 대수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 이차 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-리 대수 ${\mathfrak {g}}$
• $K$-비퇴화 쌍선형 형식 ${\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\to K$, $x\otimes y\mapsto \langle x,y\rangle$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$\langle [x,y]|z\rangle =\langle y|[z,x]\rangle$

아인슈타인 표기법을 사용하여, ${\mathfrak {g}}$의 원소를 $t^{i}$와 같이 윗첨자로 표기하고, ${\mathfrak {g}}$의 구조 상수를

$[t^{i},t^{j}]=f^{k}{}_{ij}t^{i}t^{j}$

와 같이 적고 ($f^{k}{}_{ij}=-f_{ji}^{k}$), 쌍선형 형식을

$\langle t^{i}|t^{j}\rangle =C_{ij}t^{i}t^{j}$

와 같이 적을 경우 ($C_{ij}=C_{ji}$), 위 조건은 다음과 같다.

$0=C_{l(j}f^{l}{}_{k)i}=C_{lj}f^{l}{}_{ki}+C_{lk}f^{l}{}_{ji}$

여기서 $(\dotso )$는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.

연산

같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.

이중 확대

다음이 주어졌다고 하자.

• 체 $K$
• $K$-이차 리 대수 $({\mathfrak {g}},\langle -|-\rangle )$
• $K$-이차 리 대수 ${\mathfrak {h}}$
• $K$-리 대수 준동형 $(\cdot )\colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})\cap {\mathfrak {o}}({\mathfrak {g}})$ (여기서 ${\mathfrak {o}}({\mathfrak {g}})$는 대칭 쌍선형 형식 $\langle -|-\rangle$에 대한 직교 리 대수)

그렇다면, 직합 $K$-벡터 공간

${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {h}}^{\vee }$

위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.

$\langle (g',h',h'^{\vee })|(g,h,h^{\vee })\rangle =\langle g'|g\rangle +\langle h^{\vee }|h'\rangle +\langle h'^{\vee }|h\rangle +\langle h'|h\rangle$

$[(g,0,0),(g',0,0)]=([g,g'],0,\omega (g,g'))$

$[(0,h,0),(0,h',0)]=(0,[h,h'],0)$

$[(0,0,h^{\vee }),(g,0,h'^{\vee })]=0$

$[(0,h,0),(0,g,0)]=(h\cdot g,0,0)$

$[(0,0,h^{\vee }),(0,h,0)]=(0,0,h^{\vee }\circ \operatorname {ad} _{h})$

여기서

$\omega (g,g')\in {\mathfrak {h}}^{*}$

$\omega (g,g')(h)=\langle h\cdot g|g'\rangle$

이다.

성질

비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다.

표수 0의 체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:340–341, Proposition 26.2, Proposition 26.3}

• 양의 정부호의 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
• 콤팩트 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다.

분류

실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.^{:Théorème Ⅱ}

마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.^{:Théorème Ⅲ}

• 직합
• 1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대 ${\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$

예

표수 0의 체 위의 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0에서 모든 반단순 리 대수는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.

임의의 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식 및 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.

비콤팩트 이차 리 대수

가환환 $K$ 위의 이차 리 대수 ${\mathfrak {g}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 ${\mathfrak {g}}[t]$ 위에 리 괄호

$[p,q]_{{\mathfrak {g}}[t]}(t)=[p(t),q(t)]_{\mathfrak {g}}$

를 줄 수 있다. 또한, 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여,

$t^{n}{\mathfrak {g}}[t]\subseteq {\mathfrak {g}}$

는 그 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수

${\frac {{\mathfrak {g}}[t]}{t^{n}{\mathfrak {g}}[t]}}=\oplus _{i=0}^{n-1}{\mathfrak {g}}t^{i}$

를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 주자.

$\langle x_{0}+x_{1}t+\dotsb +x_{n-1}t^{n-1}|y_{0}+y_{1}t+\dotsb +y_{n-1}t^{n-1}\rangle =\langle x_{n-1}|y_{n-1}\rangle _{\mathfrak {g}}$

그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다.

이제, 만약 예를 들어 $K$가 표수 0의 체이며, ${\mathfrak {g}}$가 단순 리 대수이며, $n\geq 2$일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이 아니다.

외부 링크

• “A terminology issue with the Killing form”. 《Math Overflow》 (영어).