리만 곡면 이론에서, 정칙 이차 미분(正則二次微分, 영어: holomorphic quadratic differential)은 표준 선다발의 2차 대칭곱의 정칙 단면이다.[1]
정의
리만 곡면 위의 정칙 이차 미분은 그 표준 선다발의 2차 대칭곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 층 코호몰로지이다.[2]:§4
여기서 는 의 표준 선다발이다. 즉, 의 국소 좌표를 라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로
의 꼴이다.
표준 좌표계
리만 곡면 위의 정칙 이차 미분 가 주어졌다고 하고, 임의의 점 에 대하여 이라고 하자. 그렇다면, 의 어떤 (충분히 작은) 근방 에 다음과 같은 국소 좌표계를 정의할 수 있다.
이를 로부터 정의되는 표준 좌표계(瓢樽座標系, 영어: canonical coordinate)라고 한다.
수직엽과 수평엽
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 리만 곡면
- 의 한 점
- 위의 정칙 이차 미분 . 또한, 가 근처에서 차 극을 갖는다고 하자. 즉, 는 근처에서 다음과 같은 꼴을 갖는다.
그렇다면, 만약 어떤 연속 미분 가능 곡선
에 대하여 다음과 같은 두 조건을 생각하자.
- ㉠
- ㉡
이 두 조건은 매개 변수의 재정의 에 대하여 (만약 라면) 불변이다. 즉, 이들은 단순히 의 부분 집합으로 취급할 수 있다. ㉠을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 의 수평엽(水平葉, 영어: horizontal leaf)이라고 한다. 마찬가지로, ㉡을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 의 수직엽(垂直葉, 영어: vertical leaf)이라고 한다.
성질
리만 곡면 위의 정칙 이차 미분의 벡터 공간은 그 타이히뮐러 공간의 접공간과 표준적으로 동형이다.
리만 곡면 위의 정칙 이차 미분 의 수직엽들의 족은 리만 곡면 의 (실수) 여차원 1의 엽층을 이루며, 의 수평엽들의 족 역시 마찬가지다.
슈트레벨 미분
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 종수 의 연결 콤팩트 리만 곡면 ().
- 속의 유한 집합 . 또한, 이다. (즉, 일 때는 이며, 일 때는 이다.)
- 각 에 대하여, 양의 실수 .
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 유일한 정칙 이차 미분
이 존재하며, 이를 의 슈트레벨 미분(Strebel微分, 영어: Strebel differential)이라고 한다.[2]:Theorem 4.2
- 는 각 근처에서, 국소적으로 다음과 같이 2차 극을 갖는다.
- 의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간이 아닌 것들의 합집합은 르베그 측도 0인 닫힌집합이다.
- 의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간인 것 은 항상 어떤 을 한 번 휘감는 폐곡선이며, 또한 다음 조건을 만족시킨다. (여기서, 제곱근의 분지는 이 적분이 양수가 되게 택한다.)
예
비콤팩트 리만 곡면인 복소평면 위의 상수 정칙 이차 적분
을 생각하자. 이는 영점을 갖지 않는다.
일 때, 그 수평엽의 조건은
인 것이다. 즉, 이어야 한다. 이에 따라, 수평엽들은 다음과 같은 수평선들이다.
마찬가지로, 수직엽의 조건은
인 것이다. 즉, 이어야 한다. 이에 따라, 수직엽들은 다음과 같은 수직선들이다.
이들은 물론 각각 복소평면의 엽층을 이룬다.
참고 문헌
- Tynan, P. (2009). “Explicit examples of Strebel differentials” (영어). arXiv:0910.4752.