수직 벡터 다발: 두 판 사이의 차이
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[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌다고 하자. 이 경우, <math>E</math>의 수직 벡터 다발은 스스로의 [[당김]] <math>\pi^*E</math>와 표준적으로 동형이다. |
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌다고 하자. 이 경우, <math>E</math>의 수직 벡터 다발은 스스로의 [[당김]] <math>\pi^*E</math>와 표준적으로 동형이다.<ref name="KMS">{{서적 인용|last1 = Kolář|first1=Ivan|last2=Michor|first2=Peter|last3=Slovák|first3=Jan|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|title=Natural operations in differential geometry|날짜 = 1993|publisher = Springer-Verlag|doi=10.1007/978-3-662-02950-3|isbn=978-3-540-56235-1|zbl=0782.53013|언어=en}}</ref>{{rp|55, §6.11}} |
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:<math>\mathrm VE\cong\pi^*E</math> |
:<math>\mathrm VE\cong\pi^*E=E\times_ME</math> |
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== 참고 문헌 == |
== 참고 문헌 == |
2016년 12월 20일 (화) 13:03 판
미분기하학에서, 수직 벡터 다발(垂直vector-, 영어: vertical vector bundle)은 올다발의 접다발 속의 특별한 부분 벡터 다발이다. 대략, 밑공간의 접다발을 "수평" 방향으로 간주하였을 때, 수직 벡터 다발은 순수하게 올 방향의, 즉 "수직" 방향의 벡터들로 구성된다.
반면, 올다발의 접다발 속의 "수평 벡터 다발"은 일반적으로 추가 구조 없이 정의되지 않는다. 이를 정의하기 위한 추가 구조는 에레스만 접속이라고 한다.
정의
수직 벡터 다발
이 주어졌다고 하고, 및 의 각 올이 매끄러운 다양체를 이룬다고 하자. 사영 사상의 미분
을 정의할 수 있다. 그렇다면, 위에 다음과 같은 수직 벡터 다발 를 정의할 수 있다.
즉,
위의 벡터장 에 대하여, 만약 라면 (즉, 만약 모든 에 대하여 라면) 를 수직 벡터장(垂直vector場, 영어: vertical vector field)이라고 한다. 마찬가지로, 위의 차 미분 형식 에 대하여, 만약
라면, 를 수평 미분 형식(水平微分形式, 영어: horizontal differential form)이라고 한다.
성질
수직 벡터 다발의 정의에 따라, 짧은 완전열
이 존재한다. (여기서 이다.) 이는 (벡터 다발의 범주이므로) 물론 분할 완전열이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다. 위의 에레스만 접속은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다.
예
주다발
리 군 에 대하여, 가 -주다발이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발 는 리 대수 에 대한 자명한 벡터 다발과 동형이다.
구체적으로, 우선, 임의의 에 대하여, 의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을
로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, 의 상은 의 수직 벡터 다발 과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상
를 정의한다. (좌변은 올이 인 자명한 벡터 다발이다.)
벡터 다발
매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발 이 주어졌다고 하자. 이 경우, 의 수직 벡터 다발은 스스로의 당김 와 표준적으로 동형이다.[1]:55, §6.11
참고 문헌
- Nakahara, Mikio (2003년 6월 4일). 《Geometry, topology and physics》 (영어) 2판. Taylor & Francis. doi:10.1201/9781420056945. ISBN 978-0-7503-0606-5.
- Marle, Charles-Michel (2007). 〈The works of Charles Ehresmann on connections: from Cartan connections to connections on fibre bundles〉. 《Geometry and Topology of Manifolds, May 2005, Będlewo, Poland》. Banach Center Publications (영어) 76. 바르샤바: Polish Academy of Sciences. 65–86쪽. arXiv:1401.8272. Bibcode:2014arXiv1401.8272M.
바깥 고리
- “vertical vector field”. 《nLab》 (영어).
- “horizontal differential form”. 《nLab》 (영어).
- ↑ Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013.