유사 거리 공간: 두 판 사이의 차이
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집합 <math>X</math> 위의 '''유사 거리 함수'''(類似距離函數, {{llang|en|pseudometric function}})는 다음 조건을 만족시키는 함수 |
집합 <math>X</math> 위의 '''유사 거리 함수'''(類似距離函數, {{llang|en|pseudometric function}})는 다음 조건을 만족시키는 함수 |
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:<math>d\colon X \times X\to[0,\infty)</math> |
:<math>d\colon X \times X\to[0,\infty)</math> |
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이다.<ref name="Doob">{{서적 인용|제목=Measure theory|이름=Joseph Leo|성=Doob|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=143|doi=10.1007/978-1-4612-0877-8|isbn=978-0-387-94055-7|날짜=1994|출판사=Springer-Verlag|issn=0072-5285|zbl=0791.28001|언어=en}}</ref>{{rp|12, §0.13}} |
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이다. |
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* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>d(x,x)=0</math> |
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>d(x,x)=0</math> |
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* ([[대칭관계|대칭성]]) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(x,y) = d(y,x)</math> |
* ([[대칭관계|대칭성]]) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(x,y) = d(y,x)</math> |
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여기서 <math>y=x</math>로 잡으면 <math>d(y,x)=d(x,y)</math>가 되어, 대칭 공리를 얻는다. |
여기서 <math>y=x</math>로 잡으면 <math>d(y,x)=d(x,y)</math>가 되어, 대칭 공리를 얻는다. |
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만약 유사 거리 함수 <math>d</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''[[거리 함수]]'''라 한다. |
만약 유사 거리 함수 <math>d</math>가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, '''[[거리 함수]]'''라 한다. |
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* (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(x,y) = 0 \iff x = y </math> |
* (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(x,y) = 0 \iff x = y </math> |
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'''유사 거리 공간''' <math>(X,d)</math>은 유사 거리 함수가 주어진 집합이다. |
'''유사 거리 공간''' <math>(X,d)</math>은 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.<ref name="Doob"/>{{rp|12, §0.13}} |
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=== 거리 공간의 특별한 집합 === |
=== 유사 거리 공간의 특별한 집합 === |
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{{본문|공 (수학)}} |
{{본문|공 (수학)}} |
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유사 거리 공간 <math>X</math>에서, 점 <math>x\in X</math>를 중심으로 하는, 반지름이 <math>r\in\mathbb R^+</math>인 '''열린 공''' <math> |
유사 거리 공간 <math>X</math>에서, 점 <math>x\in X</math>를 중심으로 하는, 반지름이 <math>r\in\mathbb R^+</math>인 '''열린 공''' <math>\operatorname{ball}(x,r)</math>는 다음과 같다. |
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:<math>B_r(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}</math> |
:<math>B_r(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}</math> |
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점 <math>x\in X</math>를 중심으로 하는, 반지름이 <math>r\in\mathbb R^+</math>인 '''닫힌 공''' <math>\bar B_r(x)</math>는 다음과 같다. |
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:<math>\bar B_r(x)=\{y\in X\colon d(x,y)\le r\}</math> |
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유사 거리 공간 <math>X</math>의 '''[[유계 집합]]''' <math>S\subset X</math>는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다. |
유사 거리 공간 <math>X</math>의 '''[[유계 집합]]''' <math>S\subset X</math>는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다. |
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=== 거리 위상 === |
=== 거리 위상 === |
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유사 거리 공간 <math>(X,d)</math>의 '''유사 거리 위상'''(類似距離位相, {{llang|en|pseudometric topology}})은 열린 공들을 [[기저 (위상수학)|기저]]로 하는 [[위상 공간 (수학)|위상]]이다. 즉, 유사 거리 위상에서의 [[열린집합]]은 다음 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>U\subset X</math>이다. |
유사 거리 공간 <math>(X,d)</math>의 '''유사 거리 위상'''(類似距離位相, {{llang|en|pseudometric topology}})은 열린 공들을 [[기저 (위상수학)|기저]]로 하는 [[위상 공간 (수학)|위상]]이다. 즉, 유사 거리 위상에서의 [[열린집합]]은 다음 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>U\subset X</math>이다. |
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:모든 <math>x\in U</math>에 대하여, <math> |
:모든 <math>x\in U</math>에 대하여, <math>\operatorname{ball}(x,r_x)\subseteq U</math>인 <math>r_x>0</math>가 존재한다. |
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이에 따라 모든 유사 거리 공간은 표준적으로 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 이룬다. |
이에 따라 모든 유사 거리 공간은 표준적으로 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 이룬다. |
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함수해석학에서, [[Lp 공간|L<sup>''p''</sup> 거리 공간]] <math>L^p(X)</math>은 어떤 함수 공간 <math>\mathcal L^p(X)</math>의 거리 공간화로 정의되며, <math>\mathcal L^p(X)</math>는 유사 거리 공간이지만 일반적으로 거리 공간이 아니다. |
함수해석학에서, [[Lp 공간|L<sup>''p''</sup> 거리 공간]] <math>L^p(X)</math>은 어떤 함수 공간 <math>\mathcal L^p(X)</math>의 거리 공간화로 정의되며, <math>\mathcal L^p(X)</math>는 유사 거리 공간이지만 일반적으로 거리 공간이 아니다. |
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== 참고 문헌 == |
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== 바깥 고리 == |
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2016년 9월 14일 (수) 13:39 판
기하학에서, 유사 거리 공간(類似距離空間, 영어: pseudometric space)은 임의의 두 점 사이의 거리를 잴 수 있지만, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 0이 될 수 있는 기하학적 공간이다. 유사 거리 공간 가운데, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 양수인 것을 거리 공간이라고 한다.
정의
집합 위의 유사 거리 함수(類似距離函數, 영어: pseudometric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수
이다.[1]:12, §0.13
둘째·셋째 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체될 수 있다.
- (삼각 부등식)
여기서 로 잡으면 가 되어, 대칭 공리를 얻는다.
만약 유사 거리 함수 가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, 거리 함수라 한다.
- (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 에 대하여,
유사 거리 공간 은 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.[1]:12, §0.13
유사 거리 공간의 특별한 집합
유사 거리 공간 에서, 점 를 중심으로 하는, 반지름이 인 열린 공 는 다음과 같다.
유사 거리 공간 의 유계 집합 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.
- 인 점 가 존재한다.
거리 위상
유사 거리 공간 의 유사 거리 위상(類似距離位相, 영어: pseudometric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 유사 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 이다.
- 모든 에 대하여, 인 가 존재한다.
이에 따라 모든 유사 거리 공간은 표준적으로 위상 공간을 이룬다.
지름
유사 거리 공간 의 지름(영어: diameter) 는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.
마찬가지로, 유사 거리 공간의 부분 집합은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.
지름이 유한한 유사 거리 공간을 유계 유사 거리 공간이라고 한다.
성질
유사 거리 공간 의 임의의 부분 집합 에 대하여, 는 유사 거리 공간을 이룬다.
위상수학적 성질
모든 유사 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
유사 거리 공간의 거리화
유사 거리 공간 위에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.
그렇다면, 이에 대한 몫집합 위에 다음과 같은 거리 함수가 존재한다.
이에 따라 은 거리 공간을 이룬다.
예
불 대수 위의 유한 유한 가법 측도 가 주어졌을 때, 위에는 다음과 같은 자연스러운 유사 거리 함수가 존재한다.
여기서 은 대칭차이다.
함수해석학에서, Lp 거리 공간 은 어떤 함수 공간 의 거리 공간화로 정의되며, 는 유사 거리 공간이지만 일반적으로 거리 공간이 아니다.
참고 문헌
- ↑ 가 나 Doob, Joseph Leo (1994). 《Measure theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 143. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0877-8. ISBN 978-0-387-94055-7. ISSN 0072-5285. Zbl 0791.28001.
바깥 고리
- “Pseudo-metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Pseudometric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Definition: pseudometric”. 《ProofWiki》 (영어).