자유군

군론에서, 자유군(自由群, 영어: free group)은 그 아무런 관계를 갖지 않는 표시를 가질 수 있는 군이다.

정의

자유군은 군의 구체적 범주 $\operatorname {Grp} \to \operatorname {Set}$의 자유 대상이다. 즉, 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자

$\operatorname {Forget} \colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Set}$

는 왼쪽 수반 함자

$\langle -\rangle \colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Grp}$

$\langle -\rangle \dashv \operatorname {Forget}$

를 가지며, 집합 $S$로부터 생성되는 자유군 $\langle S\rangle$은 함자 $\langle -\rangle$에 대한 상이다.

구성

집합 $S$로부터 생성되는 자유군은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. $S$의 원소들을 형식적 기호로 생각하고, 기호들의 집합 $S^{-1}=\{s^{-1}\colon s\in S\}$를 생각하자. 그렇다면, 알파벳 $S\sqcup S^{-1}$으로 구성되는 문자열 $\sigma \in (S\sqcup S^{-1})^{*}$을 생각할 수 있다 ($^{*}$는 클레이니 스타).

문자열 $\sigma \in (S\sqcup S^{-1})^{*}$이

$ss^{-1}\qquad (s\in S)$

또는

$s^{-1}s\qquad (s\in S)$

꼴의 부분 문자열을 갖지 않는다면, 이를 기약 문자열(영어: reduced string)이라고 한다. 임의의 문자열 $\sigma \in (S\sqcup S^{-1})^{*}$에 대하여, 위의 꼴의 부분 문자열들을 (임의의 순서로) 거듭하여 제거하면 결국 기약 문자열을 얻으며, 이렇게 얻는 기약 문자열은 부분 문자열의 제거 순서와 무관하다. 이를 문자열의 축소화(영어: reduction)라고 하자. 그렇다면, 자유군 $\langle S\rangle$은 $(S\sqcup S^{-1})^{*}$ 속의 기약 문자열들의 집합으로 구성할 수 있다. 이 경우, 기약 문자열 $\sigma ,\sigma '\in (S\sqcup S^{-1})^{*}$에 대하여, 군 이항 연산 $\sigma \cdot \sigma '$은 두 문자열의 이음 $\sigma \sigma '$의 축소화이다.

이 구성에서 군의 항등원은 길이 0의 문자열이며, 기약 문자열 $\sigma$의 역원은 $\sigma$의 순서를 거꾸로 한 뒤, $s\in S$ 꼴의 알파벳은 $s^{-1}$로, $s^{-1}\in S$ 꼴의 알파벳은 $s$로 치환하여 얻는 문자열이다. (이러한 문자열은 항상 기약 문자열이다.)

성질

크기

집합 $S$로부터 생성되는 자유군 $\langle S\rangle$의 크기는 다음과 같다.

$|\langle S\rangle |={\begin{cases}1&|S|=0\\\aleph _{0}&1\leq |S|\leq \aleph _{0}\\|S|&|S|\geq \aleph _{0}\end{cases}}$

두 집합 $S$, $T$에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

• $|S|=|T|$
• $\langle S\rangle$와 $\langle T\rangle$는 군으로서 서로 동형이다.

자유군 $F$의 계수는 $F$를 생성하는 집합의 크기이다. 이는 위 정리에 따라 유일하다.

군론적 성질

계수가 0인 자유군은 자명군이다. 계수가 1인 자유군은 무한 순환군이다. 계수가 2 이상인 자유군은 비아벨 군이다. 정의에 따라, 모든 군은 어떤 자유군의 몫군으로 나타낼 수 있다. 가산 계수의 자유군의 몫군으로 나타내어지는 군을 유한 생성 군(영어: finitely generated group)이라고 한다.

자유군의 아벨화는 자유 아벨 군이다.

부분군

닐센-슈라이어 정리(영어: Nielsen–Schreier theorem)에 따르면, 자유군의 모든 부분군은 자유군이다. 이 정리는 야코브 닐센(덴마크어: Jakob Nielsen, 1890~1959)이 1921년에 유한 생성 부분군에 대하여 증명하였으며, 오토 슈라이어(독일어: Otto Schreier, 1901~1929)가 1927년 하빌리타치온 논문에서 일반적인 경우에 대하여 증명하였다. 닐센-슈라이어 정리의 증명은 선택 공리를 필요로 한다. 선택 공리가 성립하지 않으며, 닐센-슈라이어 정리 역시 거짓인 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이 존재한다.

계수가 2개 이상인 자유군은 모든 가산 계수의 자유군을 부분군으로 갖는다.

논리학적 성질

계수가 2 이상인 자유군의 1차 논리 이론은 모두 동형이다. 또한, 이 이론은 결정 가능 이론이다. 이 두 성질은 알프레트 타르스키가 1945년 경에 추측하였고, 2006년에 증명되었다.

응용

계수 2의 자유군의 케일리 그래프는 바나흐-타르스키 역설의 증명에 등장한다.

대수적 위상수학에서, 임의의 기수 $\kappa$에 대하여, $\kappa$개의 원들의 쐐기합 $\textstyle \bigwedge ^{\kappa }\mathbb {S} ^{1}$의 기본군은 계수 $\kappa$의 자유군이다.

같이 보기

• 자유곱
• 자유 아벨 군