바일 지표 공식: 두 판 사이의 차이
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[[헤르만 바일]]이 발견하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Weyl | first=Hermann | authorlink=헤르만 바일 | title=Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen I | doi=10.1007/BF01506234 | year=1925 | journal=Mathematische Zeitschrift | issn=0025-5874 | volume=23 | pages=271–309|언어고리=de}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Weyl | first=Hermann | authorlink=헤르만 바일 | title=Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen II | doi=10.1007/BF01216788 | year=1926 | journal=Mathematische Zeitschrift | issn=0025-5874 | volume=24 | pages=328–376|언어고리=de}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Weyl | first=Hermann | authorlink=헤르만 바일 | title=Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen III | doi=10.1007/BF01216789 | year=1926 | journal=Mathematische Zeitschrift | issn=0025-5874 | volume=24 | pages=377–395|언어고리=de}}</ref> |
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[[헤르만 바일]]이 발견하였다. |
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2015년 9월 13일 (일) 09:20 판
리 군 표현론에서, 바일 지표 공식(Weyl指標公式, 영어: Weyl character formula)은 주어진 복소수 기약 표현의 지표를 제시하는 공식이다.
정의
체 위의 리 대수 의 유한 차원 표현 의 지표(영어: character)는 다음과 같다.
여기서 행렬 지수 함수를 취하는 것은 리 대수를 리 군으로 대응시키는 것이다.
이제, 다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자.
- 이다.
- 는 복소수 반단순 리 대수이며, 그 카르탕 부분 대수가 이며, 그 바일 군은 이다. 의 양근들의 집합을 라고 하자.
- 는 복소수 유한 차원 기약 표현이며, 그 최고 무게는 이다.
바일 군의 원소 는 카르탕 부분 대수 위에 표현
을 가진다. 이 표현의 행렬식 은 바일 군의 원소의 길이(영어: length)와 관계되어 있다. 바일 군의 원소의 길이는 의 표현을 단순근에 대한 반사들의 합성으로 구현하였을 때 필요한 최소 개의 반사의 수이며, 이 경우
이다.
그렇다면, 바일 지표 공식은 다음과 같다.
특수한 경우
바일 차원 공식
지표를 리 대수의 원소 0에서 계산한다면, 리 대수 표현의 차원을 얻는다. 바일 지표 공식에 을 대입하면, 분모와 분자 둘 다 0이 되어 0/0을 얻으므로, 대신 인 극한을 취하고, 로피탈의 정리를 사용하여 바일 차원 공식(Weyl次元公式, 영어: Weyl dimension formula)을 얻을 수 있다.
여기서
이다.
바일 분모 공식
자명한 1차원 표현의 지표는 항상 1이다. 바일 지표 공식을 자명한 1차원 표현에 대하여 적용하면, 다음과 같은 바일 분모 공식(Weyl分母公式, 영어: Weyl denominator formula)을 얻는다.
역사
참고 문헌
- ↑ Weyl, Hermann (1925). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen I”. 《Mathematische Zeitschrift》 23: 271–309. doi:10.1007/BF01506234. ISSN 0025-5874.
- ↑ Weyl, Hermann (1926). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen II”. 《Mathematische Zeitschrift》 24: 328–376. doi:10.1007/BF01216788. ISSN 0025-5874.
- ↑ Weyl, Hermann (1926). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen III”. 《Mathematische Zeitschrift》 24: 377–395. doi:10.1007/BF01216789. ISSN 0025-5874.
바깥 고리
- “Weyl-Kac character formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Weyl character formula”. 《nLab》 (영어).
- “Kac character formula”. 《nLab》 (영어).
- “Kac-Weyl character”. 《nLab》 (영어).
- 이철희. “대문”. 《수학노트》.
- 이철희. “대문”. 《수학노트》.
- 이철희. “대문”. 《수학노트》.