산술 기하 평균: 두 판 사이의 차이
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반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 한 배 증가하는 것을 알 수 있다. 두 수열이 공동으로 가지는 극한이 곧 산술 기하 평균이다, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다.<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=agm%2824%2C+6%29 agm(24, 6) - WolframAlpha]</ref> |
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== 역사 == |
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두 수열에 기반한 최초의 알고리즘은 [[조제프루이 라그랑주|라그랑주]]의 저작에 기술되었다. 그의 성질은 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]에 의해 분석되었다. |
두 수열에 기반한 최초의 알고리즘은 [[조제프루이 라그랑주|라그랑주]]의 저작에 기술되었다. 그의 성질은 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]에 의해 분석되었다.<ref name="BerggrenBorwein2004">{{cite book|language=en|editor=J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein|title=Pi: A Source Book|url=http://books.google.com/books?id=QlbzjN_5pDoC&pg=PA481|year=2004|publisher=Springer|isbn=978-0-387-20571-7|page=481|chapter=The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss|author=David A. Cox}} 여기에 처음 출간됨: ''L'Enseignement Mathématique'' t. 30 (1984), 275-330쪽</ref> |
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== 성질 == |
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기하 평균은 항상 산술 평균보다 작거나 같다([[산술-기하 평균 부등식]]), 또 기하 평균과 산술 평균 모두 두 수의 최솟값보다 크고 최솟값보다 작다. 이러한 이유로 인해 |
기하 평균은 항상 산술 평균보다 작거나 같다([[산술-기하 평균 부등식]]), 또 기하 평균과 산술 평균 모두 두 수의 최솟값보다 크고 최솟값보다 작다. 이러한 이유로 인해 |
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이 성립한다. {{수학|''x'' {{=}} ''y''}}인 경우를 제외하면 모든 등호가 성립하지 않는다. |
이 성립한다. {{수학|''x'' {{=}} ''y''}}인 경우를 제외하면 모든 등호가 성립하지 않는다. |
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산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 공식을 이용해 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다. 공학에서 [[타원 필터]]의 설계 등에 사용되기도 한다. |
산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 공식을 이용해 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다. 공학에서 [[타원 필터]]의 설계 등에 사용되기도 한다.<ref name="Dimopoulos2011">{{cite book|language=en|author=Hercules G. Dimopoulos|title=Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis|url=http://books.google.com/books?id=6W1eX4QwtyYC&pg=PA147|year=2011|publisher=Springer|isbn=978-94-007-2189-0|pages=147–155}}</ref> |
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== 관련 개념 == |
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[[기하 조화 평균]]은 이와 비슷하게 기하 평균과 [[조화 평균]]을 사용해 정의한 수열의 극한값이다. 산술 조화 평균 또한 비슷한 방법으로 얻어지나, 이는 곧 [[기하 평균]]과 같다. |
[[기하 조화 평균]]은 이와 비슷하게 기하 평균과 [[조화 평균]]을 사용해 정의한 수열의 극한값이다. 산술 조화 평균 또한 비슷한 방법으로 얻어지나, 이는 곧 [[기하 평균]]과 같다. |
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산술 기하 평균은 [[로그]]와 [[타원 적분|제1종 완전 타원 적분]]을 계산하는 데에 사용된다. 산술 기하 평균의 변형을 이용하여 [[타원 적분|제2종 완전 타원 적분]]을 효율적으로 계산할 수 있다. |
산술 기하 평균은 [[로그]]와 [[타원 적분|제1종 완전 타원 적분]]을 계산하는 데에 사용된다. 산술 기하 평균의 변형을 이용하여 [[타원 적분|제2종 완전 타원 적분]]을 효율적으로 계산할 수 있다.<ref>{{Citation |language=en |last=Adlaj |first=Semjon |title=An eloquent formula for the perimeter of an ellipse |url=http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf |journal=Notices of the AMS |volume=59 |issue=8 |pages=1094–1099 |date=September 2012 |doi=10.1090/noti879 |accessdate=2013-12-14}}</ref> |
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따라서 {{수학|(''a<sub>n</sub>''), (''g<sub>n</sub>'')}} 모두 단조, 유계이며, 고로 수렴한다. 또한 |
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== 참고 문헌 == |
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*{{cite journal|language=en|last = Adlaj|first = Semjon|title = An eloquent formula for the perimeter of an ellipse|journal = Notices of the AMS|volume = 59|issue = 8|pages = 1094–1099|date = September 2012|url = http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf|doi=10.1090/noti879}} |
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* Jonathan Borwein, Peter Borwein, ''Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity.'' Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X<!-- {{MR|1641658}} --> |
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* Zoltán Daróczy, Zsolt Páles, ''Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem.'' Publ. Math. Debrecen 61/1-2 (2002), 157–218. |
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*{{SpringerEOM|author=M. Hazewinkel|title=Arithmetic–geometric mean process|urlname=a/a130280}} |
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*{{매스월드|urlname=Arithmetic-GeometricMean|title=Arithmetic–Geometric mean}} |
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[[분류:평균]] |
2015년 8월 27일 (목) 01:43 판
수학에서, 산술 기하 평균(算術幾何平均, 영어: arithmetic–geometric mean)은 산술 평균과 기하 평균 연산에 의한 점화 수열에 극한을 취하여 얻어진 평균값이다. 두 실수 x, y의 산술 기하 평균 M(x, y)는 다음과 같이 정의된다.
우선 두 수 x, y의 산술 평균을 a1, 기하 평균을 g1라고 하자.
이후 a1과 g1을 x와 y 자리에 넣어 이 연산을 반복하면 두 수열 (an), (gn)을 얻게 된다.
이 두 수열은 같은 값으로 수렴하며, 이 수렴값을 x와 y의 산술 기하 평균이라 한다. M(x, y) 또는 agm(x, y)로 표기한다.
예
24와 6의 산술 기하 평균을 구하기 위해, 먼저 그들의 산술 평균과 기하 평균을 계산한다.
이 과정을 다음과 같이 반복한다.
다섯번을 반복하면 다음의 값들을 얻는다.
n an gn 0 24 6 1 15 12 2 13.5 13.416407864998738178455042… 3 13.458203932499369089227521… 13.458139030990984877207090… 4 13.458171481745176983217305… 13.458171481706053858316334… 5 13.458171481725615420766820… 13.458171481725615420766806…
반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 한 배 증가하는 것을 알 수 있다. 두 수열이 공동으로 가지는 극한이 곧 산술 기하 평균이다, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다.[1]
역사
두 수열에 기반한 최초의 알고리즘은 라그랑주의 저작에 기술되었다. 그의 성질은 가우스에 의해 분석되었다.[2]
성질
기하 평균은 항상 산술 평균보다 작거나 같다(산술-기하 평균 부등식), 또 기하 평균과 산술 평균 모두 두 수의 최솟값보다 크고 최솟값보다 작다. 이러한 이유로 인해
이 성립한다. x = y인 경우를 제외하면 모든 등호가 성립하지 않는다.
위에서 알 수 있듯이, M(x, y)는 x와 y 사이에서, 더 정확히는 기하 평균과 산술 평균의 사이에서 값을 취한다.
r ≥ 0에 대해, M(rx, ry) = r · M(x, y)의 등식이 성립한다.
다음은 M(x, y)의 적분 형식이다.
여기서 K(k)는 제1종 완전 타원 적분이다.
산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 공식을 이용해 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다. 공학에서 타원 필터의 설계 등에 사용되기도 한다.[3]
관련 개념
1과 루트 2의 산술 기하 평균의 역수는 가우스 상수라고 불린다.
기하 조화 평균은 이와 비슷하게 기하 평균과 조화 평균을 사용해 정의한 수열의 극한값이다. 산술 조화 평균 또한 비슷한 방법으로 얻어지나, 이는 곧 기하 평균과 같다.
산술 기하 평균은 로그와 제1종 완전 타원 적분을 계산하는 데에 사용된다. 산술 기하 평균의 변형을 이용하여 제2종 완전 타원 적분을 효율적으로 계산할 수 있다.[4]
M의 존재성 증명
두 수열 (an), (gn)은 항상 같은 값으로 수렴한다. 다음은 이를 증명한 것이다.
산술-기하 평균 부등식에 의해 모든 n에 대해 다음이 성립한다.
x ≤ y는 증명에 영향을 주지 않는 가정이다. 이 때 다음이 성립한다.
또한 다음과 같이 (an), (gn) 모두가 단조 수열임을 보일 수 있다.
모든 부등식을 연립하면 다음을 얻는다.
따라서 (an), (gn) 모두 단조, 유계이며, 고로 수렴한다. 또한
의 양변에 극한을 취하면 두 수열의 극한값이 같다는 것을 알 수 있다.
적분 형식의 증명
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같이 보기
각주
- ↑ agm(24, 6) - WolframAlpha
- ↑ David A. Cox (2004). 〈The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss〉. J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein. 《Pi: A Source Book》 (영어). Springer. 481쪽. ISBN 978-0-387-20571-7. 여기에 처음 출간됨: L'Enseignement Mathématique t. 30 (1984), 275-330쪽
- ↑ Hercules G. Dimopoulos (2011). 《Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis》 (영어). Springer. 147–155쪽. ISBN 978-94-007-2189-0.
- ↑ Adlaj, Semjon (September 2012), “An eloquent formula for the perimeter of an ellipse” (PDF), 《Notices of the AMS》 (영어) 59 (8): 1094–1099, doi:10.1090/noti879, 2013년 12월 14일에 확인함
참고 문헌
- Adlaj, Semjon (September 2012). “An eloquent formula for the perimeter of an ellipse” (PDF). 《Notices of the AMS》 (영어) 59 (8): 1094–1099. doi:10.1090/noti879.
- Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X
- Zoltán Daróczy, Zsolt Páles, Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem. Publ. Math. Debrecen 61/1-2 (2002), 157–218.
- M. Hazewinkel (2001). “Arithmetic–geometric mean process”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Arithmetic–Geometric mean”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.