스톤-체흐 콤팩트화: 두 판 사이의 차이
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*{{저널 인용|first=Allen|last=Shields|title=Years ago|journal=The Mathematical Intelligencer|volume= 9|issue=2 |날짜=1987 |pages= 61–63|doi=10.1007/BF03025901|issn=0343-6993|언어고리=en}} |
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*{{서적 인용|last=Hindman|first= Neil|last2= Strauss|first2= Dona|title=Algebra in the Stone–Čech compactification: theory and applications |series=De Gruyter Expositions in Mathematics|volume= 27|publisher= Walter de Gruyter & Co.|날짜= 1998 |isbn=978-3-11-025835-6|url=http://www.degruyter.com/view/product/129427|mr=1642231|언어고리=en}} |
*{{서적 인용|last=Hindman|first= Neil|last2= Strauss|first2= Dona|title=Algebra in the Stone–Čech compactification: theory and applications |series=De Gruyter Expositions in Mathematics|volume= 27|publisher= Walter de Gruyter & Co.|날짜= 1998 |isbn=978-3-11-025835-6|url=http://www.degruyter.com/view/product/129427|mr=1642231|언어고리=en}} |
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* {{서적 인용|제목=The Stone–Čech compactification|이름=Russell C.|성=Walker|doi=10.1007/978-3-642-61935-9|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|권=83|issn=0071-1136|isbn=978-3-642-61937-3|언어고리=en}} |
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== 바깥 고리 == |
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2015년 7월 1일 (수) 10:37 판
일반위상수학에서, 스톤-체흐 콤팩트화(Stone-Čech compact化, 영어: Stone–Čech compactification)는 어떤 위상 공간에 대하여 대응되는 표준적인 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 공역이 콤팩트 하우스도르프 공간인 모든 연속 함수는 그 정의역의 스톤-체흐 콤팩트화로 표준적으로 확장시킬 수 있다.
정의
위상 공간의 범주 와 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 가 주어졌다고 하자. 후자는 전자의 부분 범주이며, 따라서 망각 함자
가 존재한다. 이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
이 경우, 를 스톤-체흐 콤팩트화라고 한다. 이에 따라, 는 의 반사 부분 범주를 이룬다.
구성
위상 공간 가 주어졌다고 하자. 그 스톤-체흐 콤팩트화는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.
이 연속 함수 들의 집합이라고 하자. 그렇다면 에 곱위상을 주자. 이 경우, 다음과 같은 자연스러운 함수가 존재하며, 이는 연속 함수를 이룬다.
는 콤팩트 공간들의 곱공간이므로, 티호노프 정리에 따라서 콤팩트 공간이다. 그렇다면,
의 폐포는 (부분 공간 위상을 부여하면) 의 스톤-체흐 콤팩트화와 동형이다.
성질
임의의 위상 공간 에 대하여, 표준적인 연속 함수
가 존재한다. 그러나 이는 일반적으로 단사 함수가 아니다. 만약 가 티호노프 공간이라면, 이는 단사 함수이며, 이는 와 그 상 사이의 위상동형을 정의하며, 는 의 조밀 집합을 이룬다. 만약 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 는 와 위상동형이다.
일반적인 공간의 스톤-체흐 콤팩트화의 존재를 증명하려면 선택 공리가 필요하다. 일반적으로, 스톤-체흐 콤팩트화의 성질은 사용하는 집합론의 공리(연속체 가설 등)에 따라서 크게 달라진다.
집합을 그 이산 공간에 대응시키는 함자
및 망각 함자
가 주어졌다면, 는 집합의 범주 위의 모나드를 이루며, 이 모나드 위의 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
역사
마셜 하비 스톤(영어: Marshall Harvey Stone)[1]과 에두아르트 체흐[2]가 1937년에 독자적으로 도입하였다.
참고 문헌
- ↑ Stone, M.H. (1937). “Applications of the theory of Boolean rings to general topology”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 41 (3): 375–481. doi:10.2307/1989788. JSTOR 1989788.
- ↑ Čech, E. (1937). “On bicompact spaces”. 《The Annals of Mathematics》 38 (4): 823–844. doi:10.2307/1968839. JSTOR 1968839.
- Shields, Allen (1987). “Years ago”. 《The Mathematical Intelligencer》 9 (2): 61–63. doi:10.1007/BF03025901. ISSN 0343-6993.
- Hindman, Neil; Strauss, Dona (1998). 《Algebra in the Stone–Čech compactification: theory and applications》. De Gruyter Expositions in Mathematics 27. Walter de Gruyter & Co. ISBN 978-3-11-025835-6. MR 1642231.
- Walker, Russell C. 《The Stone–Čech compactification》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 83. doi:10.1007/978-3-642-61935-9. ISBN 978-3-642-61937-3. ISSN 0071-1136.
바깥 고리
- “Stone-Čech compactification”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Cech-Stone compactification of omega”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Stone-Cech compactification”. 《nLab》 (영어).
- Tao, Terence (2009년 3월 18일). “245B, Notes 13: Compactification and metrisation (optional)”.