수학에서 확장된 실수(擴張된實數, 영어: extended real number)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다.
확장된 실수의 집합
는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.
![{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \sqcup \{+\infty ,-\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa2ce9c84c045ccd74004006ee06f6d89166c95)
이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다.
![{\displaystyle \arctan \colon {\bar {\mathbb {R} }}\to [-\pi /2,\pi /2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f39522d1a658ce6e65ad74aa0f5998866b6703)
![{\displaystyle \arctan(x)={\begin{cases}\pi /2&x=+\infty \\-\pi /2&x=-\infty \\\arctan(x)&x\in \mathbb {R} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bd944783cfccaf9f40e2372b84123245675744)
이에 따라,
에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.
또한,
는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든
에 대하여,
![{\displaystyle -\infty <a<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e3775c0151888c0c8b731965176d5175e20e41)
가 된다. 이에 따라서
는 완비 격자를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.
확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다. 모든
,
에 대하여,
- (덧셈)
![{\displaystyle a^{+}\pm \infty =a^{-}\pm \infty =0\pm \infty =\pm \infty \pm \infty =\pm \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fdb492b5e6148dc1693ef64968586fcf4e5986)
- (덧셈의 역원)
![{\displaystyle -(\pm \infty )=\mp \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35520c1138ef12d72261841a68ae45322a098e80)
- (곱셈)
![{\displaystyle a^{+}\cdot (\pm \infty )=a^{-}\cdot (\mp \infty )=\pm \infty \cdot \infty =\mp \infty \cdot (-\infty )=\pm \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee7193233a5b8d6f2144aab7863194ae1565c9b)
- (곱셈의 역원)
![{\displaystyle (\pm \infty )^{-1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6040145c8f4a46994e99297cd14f4bae596f74d)
그러나 다음과 같은 연산들은 정의할 수 없다 (즉, 어떻게 정의하더라도 덧셈과 곱셈이 좋은 성질을 갖지 못한다).
![{\displaystyle 0\cdot \infty =?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fb5a712ce0cb4a4680ef1476b04a72128831db)
![{\displaystyle \infty -\infty =?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8842d67146869499344a0ff33955f889592d0d4)
![{\displaystyle 0^{-1}=?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd5738a8ed12abb7eeb59f56e6127c49a08ae3c)
다만, 측도론에서는 보통
으로 정의하여 사용한다.
덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에,
는 군이나 환, 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다.
는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
- 만약
으로 정의한다면,
는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
와
는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
- 만약
으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수
는 가환 반환을 이룬다.
다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \exp \colon {\bar {\mathbb {R} }}\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75124ef9dde30d364964764063f5639aa0e774e)
![{\displaystyle \exp(-\infty )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5724452e1d6da6f8e71cc203208e3aa9304474cb)
![{\displaystyle \exp(+\infty )=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49ade5ba8c51f2f93702c2e8b3209db161c4ebf)
이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
![{\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)\qquad \left(a,b\in {\bar {\mathbb {R} }},;(a,b)\not \in \left\{(-\infty ,+\infty ),(+\infty ,-\infty )\right\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8145fecebbd9436125e7a54ee5b6b406275e3070)
마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수
![{\displaystyle \log \colon [0,\infty ]\to {\bar {\mathbb {R} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d02d0775ed61f5cbfe4311c4eef9a2868489a48)
를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
![{\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)\qquad \left(a,b\in [0,\infty ],;(a,b)\not \in \left\{(0,\infty ),(\infty ,0)\right\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdd9aff700e68198a64b39d5d8d2b207dc55b7f)
만약 어떤 실함수
가
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c17c284b3795288e256cfd09d221d65fd9d9468)
인 경우,
![{\displaystyle f(\infty )=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f2560a25196690a18fddae717faee66e2b9df2)
로 정의한다.