조합론에서 포흐하머 기호(영어: Pochhammer symbol)는 연속의 정수들의 곱을 나타내는 기호
또는
이다.
포흐하머 기호의 표현에는 두 종류가 있다. 하나는 하강 계승(영어: falling factorial)
![{\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f9e9b11eedfd125b87c6a2ebc2548ebd52b8ba)
이고, 다른 하나는 상승 계승(영어: rising factorial)
![{\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397951bc523563a4c904b447883ee332f44228e2)
이다. 정의에 따라
이다.
포흐하머 기호의 표기는 분야 및 저자에 따라 다를 수 있으므로 주의하여야 한다. 수학 분야에 따라서, 다음과 같은 다른 표기가 존재한다.
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하강 |
상승
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도널드 커누스
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![{\displaystyle x^{\underline {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41fadbe2e3a262c24bf2c744afcc6ec57cbb1330) |
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조합론
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![{\displaystyle (x)_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667ec9c60835aa2b84a8d017562b4294ad6dcaef) |
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초기하함수 이론
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(없음) |
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밑줄 · 윗줄을 쓰는 표기는 도널드 커누스가 도입하였다.[1]
하강 포흐하머 기호
![{\displaystyle p_{n}(x)=x^{\underline {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a082ef265df360677448dcd79f922cb470e961e4)
및 상승 포흐하머 기호
![{\displaystyle q_{n}(x)=x^{\overline {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216ac0dffb4079135a672ce2c9183946364ec0da)
는 각각 이항형 다항식열을 이룬다. 하강 포흐하머 기호의 경우
![{\displaystyle (x+1)^{\underline {n}}-x^{\underline {n}}=\left((x+1)-(x-n+1)\right)x^{\underline {n-1}}nx^{\underline {n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5177b55f50c3a4ee89632e0f51d3511f442eaf61)
이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분
![{\displaystyle \Delta _{+}f=\left(\exp \left({\frac {d}{dx}}\right)-1\right)f=f(x+1)-f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ebb2b06df44063cfd81d4b0ebbe2541071fb4be)
이다. 마찬가지로, 상승 포흐하머 기호의 경우
![{\displaystyle x^{\overline {n}}-(x-1)^{\overline {n}}=\left((x+n-1)-(x-1)\right)x^{\overline {n-1}}=nx^{\overline {n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f22a8fde2849ac78194d317c74f7b37a48cca98)
이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 후방 유한 차분
![{\displaystyle \Delta _{-}f=\left(1-\exp \left(-{\frac {d}{dx}}\right)\right)f=f(x+1)-f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40710e49352f8d02db5a72019c8eb21971fea90f)
이다.
프로이센의 수학자 레오 아우구스트 포흐하머의 이름을 땄다. 그러나 포흐하머 자신은 오히려
을 이항계수
을 나타내는 데 사용하였다.[1]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]