감마 분포

감마 분포

확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수	$k>0\,$ 모양 (실수) $\theta >0\,$ 크기 (실수)
지지집합	$x\in [0;\infty )\!$
확률 밀도	$x^{k-1}{\frac {\exp \left(-x/\theta \right)}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}$
누적 분포	${\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}$
기댓값	$k\theta \,$
최빈값	$(k-1)\theta \,$ for $k\geq 1\,$
분산	$k\theta ^{2}\,$
비대칭도	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
첨도	${\frac {6}{k}}$
엔트로피	$k\theta +(1-k)\ln(\theta )+\ln(\Gamma (k))\,$ $+(1-k)\psi (k)\,$
적률생성함수	$(1-\theta \,t)^{-k}{\mbox{ for }}t<{\frac {1}{\theta }}$
특성함수	$(1-\theta \,i\,t)^{-k}$

감마 분포는 연속확률분포 중 하나이다. 특히 매개변수 $k$가 정수인 경우를 얼랑분포라 한다.

확률 밀도 함수

감마 분포의 확률 밀도 함수는 감마 함수를 써서 나타낼 수 있다.

$f(x;k,\theta )=x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\ \mathrm {for} \ x>0\,\!$

여기서 $k(>0)$는 모양 매개변수이고, $\theta (>0)$는 크기 매개변수이다.