외접원

외접원이란, 어떤 2차원 다각형에 대해, 그 다각형의 꼭짓점들을 원주 위에 가지고 있는 원을 뜻한다. 그 원의 중심은 외심이라고 한다.

일반적으로 다각형에 원이 항상 외접하는 것은 아니다.

삼각형의 외접원

모든 삼각형에는 외심이 항상 존재하고, 그 점은 각 변의 수직이등분선의 교점이다. 그리고 외접원에 둘러싸여 있기 때문에 삼각형의 각 꼭지점에서 외심까지의 길이는 외접원의 반지름과 일치하므로 같다.

삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점은 외접원의 중심에서 만난다.

이것을 증명하려면, 어떠한 변의 수직이등분선은 하나밖에 존재하지 않는다는 것을 이용하여, 두 수직이등분선의 교점에서 나머지 한 변에 내린 수선이 그 변을 이등분한다는 것을 보이면 된다.

외심의 위치

• 직각삼각형의 외심은 빗변의 중심에 위치한다.
• 둔각삼각형의 외심은 삼각형 바깥에 위치한다.
• 예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 위치한다.

사각형의 외접원

사각형 ABCD에 원이 외접하려면 다음 조건 중 하나를 만족하여야 한다.

• $\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ }$(대각)
• $\angle ACB=\angle ADB$(원주각)