코시 적분 정리

복소해석학에서, 코시 적분 정리(-積分定理, 영어: Cauchy's integral theorem)는 단일 연결 영역 위의 정칙 함수의 경로 적분이 경로와 무관하다는 정리이다.

정의

유계 영역 $D\subseteq \mathbb {C}$의 경계 $\partial D$가 유한 개의 조각마다 매끄러운 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 $f\colon \operatorname {cl} D\to \mathbb {C}$가 $D$에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^:84

$\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z=0$

이에 따라, 단일 연결 영역 $D\subseteq \mathbb {C}$ 위의 정칙 함수 $f\colon D\to \mathbb {C}$의, 임의의 두 점 $z',z''\in D$ 사이의 경로 적분

$\int _{z'}^{z''}f(z)\mathrm {d} z$

는 경로

$\gamma \colon [a,b]\to D\qquad (\gamma (a)=z',\;\gamma (b)=z'')$

의 선택에 의존하지 않는다.

증명

C¹을 가정하는 증명

도함수 $f'$가 $\operatorname {cl} D$의 근방 $N\supseteq \operatorname {cl} D$에서 연속 함수임을 가정할 경우,^:84-85

$f=u+iv$

인 $u,v\colon N\to \mathbb {R}$을 취하자. 그렇다면, 그린 정리와 코시-리만 방정식에 의하여,

${\begin{aligned}\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z&=\int _{\partial D}(u+iv)(\mathrm {d} x+i\mathrm {d} y)\\&=\int _{\partial D}(u\mathrm {d} x-v\mathrm {d} y)+i\int _{\partial D}(u\mathrm {d} y+v\mathrm {d} x)\\&=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y+i\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=0\end{aligned}}$

이므로, 코시 적분 정리의 결론이 성립한다.

C¹을 가정하지 않는 증명

위와 같은 가정을 사용하지 않을 경우, 우선 $D$가 삼각형 영역인 경우를 보이자.^:85-87

귀류법을 사용하여,

$\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\neq 0$

이라고 가정하자. $D_{0}=D$라고 하고, 삼각형 영역 $D$의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 영역 $D_{0,1},D_{0,2},D_{0,3},D_{0,4}$를 생각하자. 그렇다면,

$\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z=\int _{\partial D_{0,1}}f(z)\mathrm {d} z+\int _{\partial D_{0,2}}f(z)\mathrm {d} z+\int _{\partial D_{0,3}}f(z)\mathrm {d} z+\int _{\partial D_{0,4}}f(z)\mathrm {d} z$

이므로,

$\left|\int _{\partial D_{1}}f(z)\mathrm {d} z\right|\geq {\frac {1}{4}}\left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|$

인 $D_{1}\in \{D_{0,1},D_{0,2},D_{0,3},D_{0,4}\}$가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 영역의 열 $(D_{n})_{n=0}^{\infty }$을 얻는다.

• $D_{n}\subseteq D_{n-1}$
• $\operatorname {diam} D_{n}={\frac {1}{2^{n}}}\operatorname {diam} D$
• $\left|\int _{\partial D_{n}}f(z)\mathrm {d} z\right|\geq {\frac {1}{4^{n}}}\left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|\qquad (n\in \{1,2,\dots \})$

따라서,

$\bigcap _{n=0}^{\infty }D_{n}=\{a\}$

인 $a\in \mathbb {C}$가 존재하며, 임의의 $n\in \{0,1,\dots \}$에 대하여,

${\begin{aligned}0<{\frac {1}{4^{n}}}\left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|\leq \left|\int _{\partial D_{n}}f(z)\mathrm {d} z\right|&=\left|\int _{\partial D_{n}}(f(z)-f(a)-f'(a)(z-a))\mathrm {d} z\right|\\&\leq \max _{z\in \partial D_{n}}\left|{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}-f'(a)\right|\cdot \operatorname {diam} D_{n}\cdot \int _{\partial D_{n}}|\mathrm {d} z|\\&={\frac {1}{4^{n}}}\max _{z\in \partial D_{n}}\left|{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}-f'(a)\right|\cdot \operatorname {diam} D\cdot \int _{\partial D}|\mathrm {d} z|\end{aligned}}$

이다.

$\lim _{n\to \infty }\max _{z\in \partial D_{n}}\left|{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}-f'(a)\right|=0$

이므로, 이는 모순이다.

이제, 일반적인 경우를 보이자. $D$는 유한 개의 단일 연결 영역의 합집합으로 분할되므로, 편의상 $D$가 단일 연결 영역이라고 가정하자.

임의의 $\epsilon >0$에 대하여, $f$는 균등 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 다각형 영역 ${\tilde {D}}\subseteq D$가 존재한다.

• $\operatorname {cl} {\tilde {D}}\subseteq D$
• $\left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z-\int _{\partial {\tilde {D}}}f(z)\mathrm {d} z\right|<\epsilon$

다각형 영역 $D$는 유한 개의 삼각형 영역의 합집합으로 분할되므로,

$\int _{\partial {\tilde {D}}}f(z)\mathrm {d} z=0$

이며, 따라서

$\left|\int _{\partial D}f(z)\mathrm {d} z\right|<\epsilon$

이다.

외부 링크

• “Cauchy integral theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy integral theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.