코시의 적분정리

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코시의 적분정리(Cauchy's integral theorem)은 복소선적분에서 중요한 정리 중 하나이다. 복소함수의 선적분은 양 끝점에만 좌우되는 것이 아니라, 경로 자체의 선택에도 의존한다. 만약 복소함수가 영역 D에서 해석적이고 D가 단순 연결 되었다면, 주어진 점들 사이의 경로선택에 의존하지 않는다. 이로써 복소선적분의 경로의존성으로부터 벗어날 수 있다.

설명[편집]

가 단순연결영역 D에서 해석적이면, D에 있는 모든 단순 닫힌 곡선 에 대하여

이다.

코시의 적분공식[편집]

설명[편집]

단순연결영역 의 에서 해석적인 함수 와 점 와 이를 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 에 대해 이라는 정리이다. 이는 이라고 표현하기도 한다.

증명[편집]

에서 연속이므로 임의의 에 대하여 이면 을 만족하는 가 존재한다.

이제 인 r에 대해 반시계방향 원 에 포함되도록 작게 그린다. 그러면 코시의 적분정리에 의해

이다.

양변을

로 빼면

이고

이므로

이다. 또

이다.

이므로

일반화[편집]

코시 적분공식의 일반화는 다음과 같다.

(여기에서 은 f의 n계도함수)

다음을 이용하면 임의의 함수가 에서 해석적이면 그 n계도함수도 에서 해석적임을 증명할 수 있다. 이는 어떤 복소함수가 미분 가능하면 무한번 미분가능함을 알려주고 이는 복소함수의 중요한 성질이다.

[편집]

를 미분하면 가 되고 모든 점에서 해석적이므로 을 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 C에 대해서

이다.