뤼카 다항식

루카스 넘버(Lucas Number,루카스 수) $L_{n}$

루카스 넘버가 속한 일반적인 계열의 루카스 수열(루카스 시퀸스)과 혼동해서는 안된다 .

루카스 수 또는 루카스 급수(시리즈)는 수학자 프랑수아 에두아르 아나 톨레 루카스(1842-91)의 이름을 따서 명명한 상수로, 루카스는 루카스 수열의 그 시퀸스와 밀접하게 관련된 피보나치 수를 연구했다.

루카스 수와 피보나치 수는 루카스 수열의 보완적인 상수값 인스턴스를 형성한다.

즉, 루카스 수와 피보나치 수는 루카스 수열에서 서로 보완적으로 작동함으로서 그러한 인스턴스를 통해 상보성을 형성한다.

약한 루카스 넘버즈($LucasNumbers$) 생성함수

$L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}$

$\quad =\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,$

$\varphi =$황금비

계산

$L_{1}=\varphi ^{1}+(1-\varphi )^{1}=1$

$L_{2}=\varphi ^{2}+(1-\varphi )^{2}=2.99999999....=3$

$L_{3}=\varphi ^{3}+(1-\varphi )^{3}=3.99999999....=4$

음의 정수로의 확장

$L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}$을 사용하면 루카스 수를 음의 정수로 확장하여 무한대의 두 배 시퀀스를 얻을 수 있다.

$...,-11,7,-4,3,-1,2,1,3,4,7,11,...=L_{n}$ $,\;\;-5\leq {}n\leq 5$

이 순서에서 음수 인덱스가 있는 확장된 공식은 다음과 같다.

$L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}\!$

함께보기

• 피보나치 수
• 알틴 상수
• 펠 수

참고

• “Lucas polynomials”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lucas Polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Dr Ron Knott
• Lucas numbers and the Golden Section
• A Lucas Number Calculator can be found here.
• (OEIS A000032) http://oeis.org/a000032 Lucas Numbers in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.