가군의 길이: 두 판 사이의 차이
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[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>의 '''길이''' <math>\operatorname{length}P</math>는 <math>P</math>의 부분 집합 가운데 [[전순서 집합]]인 것의 크기의 최댓값 빼기 1이다. 즉, 다음과 같다. |
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:<math>\operatorname{length}P=\sup\left\{n\colon x_0<x_1<\cdots<x_n,\;\{x_0,\dots,x_n\}\subseteq P\right\}\in\mathbb Z^+\cup\{0,\infty\}</math> |
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:<math>\operatorname{length}M=\operatorname{length}\operatorname{Sub}(M)=\sup\{n\colon 0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_n=M\}\in\mathbb Z^+\cup\{0,\infty\}</math> |
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[[오른쪽 가군]]에 대해서도 마찬가지로 길이를 정의할 수 있다. |
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체 <math>K</math>에 대한 유한 차원 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 길이는 벡터 공간으로서의 차원과 같다. (무한 차원 벡터 공간의 길이는 무한대이다.) |
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2016년 3월 24일 (목) 08:34 판
환론에서, 가군의 길이(영어: length)는 가군의 크기를 나타내는 측도이며, 벡터 공간의 차원의 일반화이다.
정의
부분 순서 집합 의 길이 는 의 부분 집합 가운데 전순서 집합인 것의 크기의 최댓값 빼기 1이다. 즉, 다음과 같다.
가 (곱셈 항등원을 갖는) 환이라고 하고, 이 의 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 의 길이는 의 부분 가군의 격자 의 길이이다.
오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 길이를 정의할 수 있다.
예
길이가 0인 가군은 영가군밖에 없다. 길이가 1인 가군은 단순 가군이라고 한다.
가군의 길이가 유한하다는 것은 가군이 아르틴 가군이자 뇌터 가군이라는 것과 동치이다.
이 있다고 하자. 그렇다면
이다.
체 에 대한 유한 차원 벡터 공간 의 길이는 벡터 공간으로서의 차원과 같다. (무한 차원 벡터 공간의 길이는 무한대이다.)
바깥 고리
- “Length of a partially ordered set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Module length”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.