계차수열: 두 판 사이의 차이

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2015년 10월 5일 (월) 18:38 판

계차수열(階差數列)이란 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열 $1, 4, 9, 16, ... , n 2, ...$ 의 계차수열은 $4 - 1, 9 - 4, 16 - 9, ... , (n + 1) 2 - n 2, ...$ , 즉 $3, 5, 7, ... , 2 n + 1, ...$ 과 같다. 수열 ${a n}$ 의 계차수열의 일반항은 $a n +1 - a n$ 이다.

계차수열은 등차수열, 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다.

정의

수열 ${a n}$ 의 계차수열은 다음과 같은 수열 ${Δ a n}$ 이다.^[1]

\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}

또, ${Δ a n}$ 의 계차수열

\Delta (\Delta a_{n})=\Delta a_{n+1}-\Delta a_{n}

을 이계차수열이라고 하고, ${Δ 2 a n}$ 으로 표기한다.

비슷하게 임의의 자연수 $k$ 에 대하여 $k$ 계차수열 ${Δ k a n}$ 을 정의할 수 있다.^[1]

\Delta ^{k}a_{n}={\begin{cases}a_{n},&k=0\\\Delta (\Delta ^{k-1}a_{n})=\Delta ^{k-1}a_{n+1}-\Delta ^{k-1}a_{n},&k\geq 1\end{cases}}

위에서 알 수 있듯이, $a n$ 의 0계차수열은 자기 자신, 일계차수열은 $Δ a n$ 이다.

예

수열 $1, 3, 5, 7, ...$ 과 $2, 4, 6, 8, ...$ 의 계차수열은 모두 $2, 2, 2, 2, ...$ 이다.
수열 $9, 99, 999, 9999, ...$ 의 계차수열은 $90, 900, 9000, ...$ 이다. 이계차수열은 $810, 8100, ...$ 이다.
피보나치 수열 $1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$ 의 계차수열은 $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$ (피보나치 수열 앞에 0을 붙인 것)이다.
주어진 수열 $a n$ 의 합 $S n = a 1 + \dots + a n$ 의 계차수열은 $a 2, a 3, a 4, ...$ 이다.
등차수열 $a, a + d, a + 2 d, ...$ 의 계차수열은 상수열 $d, d, d, ...$ 이다. 특별히, 상수열 $c, c, c, ...$ 의 계차수열은 0, 0, 0, ...이다.

성질

수열 ${a n}$ 과 그의 계차수열 ${Δ a n}$ 에 대하여, 다음의 관계가 성립한다.

a_{n}=a_{1}+\Delta a_{1}+\Delta a_{2}+\cdots +\Delta a_{n-1}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}\Delta a_{k}

즉, 수열은 초항과 일계차수열에 의해 확정된다. 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같은 방식으로 확정된다.^[1]

a_{n}={n-1 \choose 0}a_{1}+{n-1 \choose 1}\Delta a_{1}+{n-1 \choose 2}\Delta ^{2}a_{1}+\cdots +{n-1 \choose n-1}\Delta ^{n-1}a_{1}=\sum _{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}\Delta ^{k}a_{1}

여기서 $\textstyle {n-1 \choose k}$ 는 $n - 1$ 의 대상 중에서 $k$ 개를 고른 조합수이다.

다만, 위에 적은 홀수열 $1, 3, ...$ 과 짝수열 $2, 4, ...$ 처럼 일계차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.

수열의 단조성은 계차수열과 연관있다.

수열 ${a n}$ 이 단조증가할 필요충분조건은 $Δ a n \geq 0$ 이 모든 $n$ 에게 성립하는 것이다.
수열 ${a n}$ 이 단조감소할 필요충분조건은, $Δ a n \leq 0$ 이 모든 $n$ 에게 성립하는 것이다.

고계등차수열

$k$ 계등차수열은, $x$ 계차수열이 상수열이 되게 하는 가장 작은 자연수 $x$ 가 $k$ 인 수열을 말한다. 공차가 0이 아닌 등차수열은 일계등차수열이다. 상수열은 0계차수열(자기 자신)이 상수열이기에 0계등차수열이다.

어떤 수열 ${a n}$ 이 $k$ 계등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 $n$ 에 대한 $k$ 차 다항식이라는 것이다.^[1]

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 吴强 (2008). 张飞羽, 편집. “阶差数列的几个性质及其应用” [계차수열의 몇가지 성질과 그 응용]. 《河西学院学报》. 24 (중국어) (2): 6–9.

[WQ-1] 가 ^나 ^다 ^라 吴强 (2008). 张飞羽, 편집. “阶差数列的几个性质及其应用” [계차수열의 몇가지 성질과 그 응용]. 《河西学院学报》. 24 (중국어) (2): 6–9.

[1]

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-'''계차수열'''(階差數列)이란 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 [[수열]]이다. 예를 들어 수열 {{수학|1, 4, 9, 16, ... , ''n''<sup>2</sup>, ...}}의 계차수열은 {{수학|4 - 1, 9 - 4, 16 - 9, ... , (''n'' + 1)<sup>2</sup> - ''n''<sup>2</sup>, ...}}, 즉 {{수학|3, 5, 7, ... , 2''n'' + 1, ...}}과 같다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''}}}의 계차수열의 일반항은 {{수학|''a''<sub>''n''+1</sub> - ''a<sub>n</sub>''}}이다.
+'''계차수열'''(階差數列)이란 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 [[수열]]이다. 예를 들어 수열 {{수학|1, 4, 9, 16, ... , ''n''<sup>2</sup>, ...}}의 계차수열은 {{수학|4 - 1, 9 - 4, 16 - 9, ... , (''n'' + 1)<sup>2</sup> - ''n''<sup>2</sup>, ...}}, 즉 {{수학|3, 5, 7, ... , 2''n'' + 1, ...}}과 같다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}의 계차수열의 일반항은 {{수학|''a''<sub>''n''+1</sub> - ''a<sub>n</sub>''}}이다.
 계차수열은 [[등차수열]], 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다.
 == 정의 ==
-수열 <math>\{a_n\}</math>의 '''계차수열'''은 다음과 같은 수열 <math>\{\Delta a_n\}</math>이다.<ref name="WQ">{{저널 인용|저자=吴强|연도=2008|편집자=张飞羽|제목=阶差数列的几个性质及其应用|번역제목=계차수열의 몇가지 성질과 그 응용|언어=zh|저널=河西学院学报|호=2|총서=24|쪽=6–9}}</ref>
+수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}의 '''계차수열'''은 다음과 같은 수열 {{수학|{Δ''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이다.<ref name="WQ">{{저널 인용|저자=吴强|연도=2008|편집자=张飞羽|제목=阶差数列的几个性质及其应用|번역제목=계차수열의 몇가지 성질과 그 응용|언어=zh|저널=河西学院学报|호=2|총서=24|쪽=6–9}}</ref>
 :<math>\Delta a_n=a_{n+1}-a_n</math>
-또, <math>\{\Delta a_n\}</math>의 계차수열
+또, {{수학|{Δ''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}의 계차수열
 :<math>\Delta(\Delta a_n)=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n</math>
-을 '''이계차수열'''이라고 하고, <math>\{\Delta^2 a_n\}</math>으로 표기한다.
+을 '''이계차수열'''이라고 하고, {{수학|{Δ<sup>2</sup>''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}으로 표기한다.
-비슷하게 임의의 자연수 {{수학|''k''}}에 대하여 '''{{수학|''k''}}계차수열''' <math>\Delta^k a_n</math>을 정의할 수 있다.<ref name="WQ" />
+비슷하게 임의의 자연수 {{수학|''k''}}에 대하여 '''{{수학|''k''}}계차수열''' {{수학|{Δ''<sup>k</sup>a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}을 정의할 수 있다.<ref name="WQ" />
 :<math>\Delta^k a_n=\begin{cases}
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 \end{cases}</math>
-위에서 알 수 있듯이, <math>a_n</math>의 0계차수열은 자기 자신, 일계차수열은 <math>\Delta a_n</math>이다.
+위에서 알 수 있듯이, {{수학|''a<sub>n</sub>''}}의 0계차수열은 자기 자신, 일계차수열은 {{수학|Δ''a<sub>n</sub>''}}이다.
 == 예 ==
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 * [[피보나치 수열]] {{수학|1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}}의 계차수열은 {{수학|0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}}(피보나치 수열 앞에 0을 붙인 것)이다.
 * 주어진 수열 {{수학|''a<sub>n</sub>''}}의 합 {{수학|1=''S<sub>n</sub>'' = ''a<sub>1</sub>'' + … + ''a<sub>n</sub>''}}의 계차수열은 {{수학|''a<sub>2</sub>'', ''a<sub>3</sub>'', ''a<sub>4</sub>'', ...}}이다.
-* 등차수열 {{수학|''a'', ''a'' + ''d'', ''a''+ 2''d'', ...}}의 계차수열은 상수열 {{수학|''d'', ''d'', ''d'', ...}}이다. 특별히, 상수열 {{수학|''c'', ''c'', ''c'', ...}}의 계차수열은 0, 0, 0, ...이다.
+* 등차수열 {{수학|''a'', ''a'' + ''d'', ''a'' + 2''d'', ...}}의 계차수열은 상수열 {{수학|''d'', ''d'', ''d'', ...}}이다. 특별히, 상수열 {{수학|''c'', ''c'', ''c'', ...}}의 계차수열은 0, 0, 0, ...이다.
 == 성질 ==
-수열 <math>\{a_n\}</math>과 그의 계차수열 <math>\{\Delta a_n\}</math>에 대하여, 다음의 관계가 성립한다.
+수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}과 그의 계차수열 {{수학|{Δ''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}에 대하여, 다음의 관계가 성립한다.
 :<math>a_n=a_1+\Delta a_1+\Delta a_2+\cdots+\Delta a_{n-1}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k</math>
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 :<math>a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}\Delta a_1+{n-1\choose 2}\Delta^2 a_1+\cdots+{n-1\choose n-1}\Delta^{n-1}a_1=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}\Delta^k a_1</math>
-여기서 <math>{n-1\choose k}</math>는 <math>n-1</math>의 대상 중에서 <math>k</math> 개를 고른 [[조합수]]이다.
+여기서 <math>\textstyle{n-1\choose k}</math>는 {{수학|''n'' - 1}}의 대상 중에서 {{수학|''k''}} 개를 고른 [[조합수]]이다.
 다만, 위에 적은 홀수열 {{수학|1, 3, ...}}과 짝수열 {{수학|2, 4, ...}}처럼 일계차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.
 수열의 단조성은 계차수열과 연관있다.
-* 수열 <math>\{a_n\}</math>이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은 <math>\Delta a_n\ge 0</math>이 모든 <math>n</math>에게 성립하는 것이다.
+* 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은 {{수학|Δ ''a<sub>n</sub>'' ≥ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다.
-* 수열 <math>\{a_n\}</math>이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, <math>\Delta a_n\le 0</math>이 모든 <math>n</math>에게 성립하는 것이다.
+* 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, {{수학|Δ ''a<sub>n</sub>'' ≤ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다.
 == 고계등차수열 ==
 '''{{수학|''k''}}계등차수열'''은, {{수학|''x''}}계차수열이 상수열이 되게 하는 가장 작은 자연수 {{수학|''x''}}가 {{수학|''k''}}인 수열을 말한다. 공차가 0이 아닌 등차수열은 일계등차수열이다. 상수열은 0계차수열(자기 자신)이 상수열이기에 0계등차수열이다.
-어떤 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''}}}이 {{수학|''k''}}계등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 {{수학|''n''}}에 대한 [[다항식|{{수학|''k''}}차 다항식]]이라는 것이다.<ref name="WQ" />
+어떤 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 {{수학|''k''}}계등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 {{수학|''n''}}에 대한 [[다항식|{{수학|''k''}}차 다항식]]이라는 것이다.<ref name="WQ" />
 == 각주 ==