계차수열

계차수열(階差數列)이란 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열 1, 4, 9, 16, ... , n², ...의 계차수열은 4 - 1, 9 - 4, 16 - 9, ... , (n + 1)² - n², ..., 즉 3, 5, 7, ... , 2n + 1, ...과 같다. 수열 {a_n}의 계차수열의 일반항은 a_n+1 - a_n이다.

계차수열은 등차수열, 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다.

정의

수열 $\{a_{n}\}$의 계차수열은 다음과 같은 수열 $\{\Delta a_{n}\}$이다.

$\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}$

또, $\{\Delta a_{n}\}$의 계차수열

$\Delta (\Delta a_{n})=\Delta a_{n+1}-\Delta a_{n}$

을 이계차수열이라고 하고, $\{\Delta ^{2}a_{n}\}$으로 표기한다.

비슷하게 임의의 자연수 k에 대하여 k계차수열 $\Delta ^{k}a_{n}$을 정의할 수 있다.

$\Delta ^{k}a_{n}={\begin{cases}a_{n},&k=0\\\Delta (\Delta ^{k-1}a_{n})=\Delta ^{k-1}a_{n+1}-\Delta ^{k-1}a_{n},&k\geq 1\end{cases}}$

위에서 알 수 있듯이, $a_{n}$의 0계차수열은 자기 자신, 일계차수열은 $\Delta a_{n}$이다.

예

• 수열 1, 3, 5, 7, ...과 2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두 2, 2, 2, 2, ...이다.
• 수열 9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은 90, 900, 9000, ...이다. 이계차수열은 810, 8100, ...이다.
• 피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...(피보나치 수열 앞에 0을 붙인 것)이다.
• 주어진 수열 a_n의 합 S_n = a₁ + … + a_n의 계차수열은 a₂, a₃, a₄, ...이다.
• 등차수열 a, a + d, a+ 2d, ...의 계차수열은 상수열 d, d, d, ...이다. 특별히, 상수열 c, c, c, ...의 계차수열은 0, 0, 0, ...이다.

성질

수열 $\{a_{n}\}$과 그의 계차수열 $\{\Delta a_{n}\}$에 대하여, 다음의 관계가 성립한다.

$a_{n}=a_{1}+\Delta a_{1}+\Delta a_{2}+\cdots +\Delta a_{n-1}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}\Delta a_{k}$

즉, 수열은 초항과 일계차수열에 의해 확정된다. 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같은 방식으로 확정된다.

$a_{n}={n-1 \choose 0}a_{1}+{n-1 \choose 1}\Delta a_{1}+{n-1 \choose 2}\Delta ^{2}a_{1}+\cdots +{n-1 \choose n-1}\Delta ^{n-1}a_{1}=\sum _{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}\Delta ^{k}a_{1}$

여기서 ${n-1 \choose k}$는 $n-1$의 대상 중에서 $k$ 개를 고른 조합수이다.

다만, 위에 적은 홀수열 1, 3, ...과 짝수열2, 4, ...처럼 일계차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.

수열의 단조성은 계차수열과 연관있다.

• 수열 $\{a_{n}\}$이 단조증가할 필요충분조건은 $\Delta a_{n}\geq 0$이 모든 $n$에게 성립하는 것이다.
• 수열 $\{a_{n}\}$이 단조감소할 필요충분조건은, $\Delta a_{n}\leq 0$이 모든 $n$에게 성립하는 것이다.

고계등차수열

k계등차수열은, x계차수열이 상수열이 되게 하는 가장 작은 자연수 x가 k인 수열을 말한다. 공차가 0이 아닌 등차수열은 일계등차수열이다. 상수열은 0계차수열(자기 자신)이 상수열이기에 0계등차수열이다.

어떤 수열 {a_n}이 k계등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 n에 대한 k차 다항식이라는 것이다.