가군의 길이

환론에서, 가군의 길이(영어: length)는 가군의 크기를 나타내는 측도이며, 벡터 공간의 차원의 일반화이다.

정의

$R$가 (곱셈 항등원을 갖는) 환이라고 하고, $M$이 $R$의 좌가군이라고 하자. 그렇다면 $M$의 길이는 $M$ 속의 부분가군들의 사슬의 길이의 상한이다.

$\operatorname {length} M=\sup\{n\colon 0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n}=M\}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0,\infty \}$

우가군에 대해서도 마찬가지로 길이를 정의할 수 있다.

예

길이가 0인 가군은 영가군밖에 없다. 길이가 1인 가군은 단순가군이라고 한다.

가군의 길이가 유한하다는 것은 가군이 아르틴 가군이자 뇌터 가군이라는 것과 동치이다.

$R$에 대한 좌가군의 짧은 완전열

$0\to L\hookrightarrow M\twoheadrightarrow N\to 0$

이 있다고 하자. 그렇다면

$\operatorname {length} L+\operatorname {length} N=\operatorname {length} M$

이다.

체 $K$에 대한 벡터 공간 $V$의 길이는 벡터 공간으로서의 차원과 같다.

바깥 고리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Module length”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.