소수 계량 함수

소수계량함수(素數計量函數, 영어: prime-counting function)는 주어진 양의 실수 $x$에 대해 그 값보다 작거나 같은 소수의 개수를 세는 함수이다. 보통 $\pi (x)$로 표기한다. 이는 원주율을 의미하는 그리스 문자 $\pi$와 아무런 관련이 없다.

최초 60이하의 자연수에 대한 $\pi (n)$의 값을 그린 그래프

역사

정수론에서 소수 개수의 증가 속도는 매우 중요한 관심 대상이다. 18세기 말 가우스와 르장드르는 소수계량함수가 $x/\ln(x)$에 근접함을 추측했다. 즉,

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1$

라고 생각했고, 이는 소수 정리에 해당한다. 이와 동치로서 다음 극한이 있다.

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{{\text{li}}(x)}}=1$

여기서 li는 로그적분함수(logarithmic integral function)를 의미한다. 1859년 리만이 소개한 리만 제타 함수의 성질을 이용하여 1896년에 자크 아다마르와 샤를장 들라발레푸생(프랑스어: Charles-Jean de la Vallée-Poussin)이 각각 독립적으로 소수 정리를 증명하였다.

명시적 공식

소수계량함수는 다음과 같은 폰 망골트 명시적 공식(영어: von Mangoldt explicit formula)을 따른다. 이는 다른 L-함수들의 명시적 공식의 시초로 볼 수 있으며, 다음과 같다.

$\psi (x)=x-\sum _{\rho \in S}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})$

여기서

• $S$는 리만 제타 함수의 임계구역(critical strip)에 있는 영점들이다.

$S=\{\rho \in \mathbb {C} \colon \zeta (\rho )=0,\;0<\operatorname {Re} \rho <1\}$

• 합 $\sum _{\rho \in S}$는 절대수렴하지 않는다. 이 경우 합은 $|\operatorname {Im} \rho |$의 순으로 계산하여 수렴하게 만든다.
• 위 공식은 x가 정수가 아닌 1 이상의 실수인 경우, 즉 $x\in (1,\infty )\setminus \mathbb {Z}$에 대하여 유효하다. 만약 $x$가 2 이상의 정수인 경우, 좌변을 $(\psi (x-1)+\psi (x))/2$로 치환해야 한다.

π(x), x / ln x, 및 li(x)의 수치적 계산 결과

다음 표는 세 함수를 직접 계산한 결과를 보여준다.

x	π(x)	π(x) − x / ln x	li(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0.3	2.2	2.500
102	25	3.3	5.1	4.000
103	168	23	10	5.952
104	1 229	143	17	8.137
105	9 592	906	38	10.425
106	78 498	6 116	130	12.740
107	664 579	44 158	339	15.047
108	5 761 455	332 774	754	17.357
109	50 847 534	2 592 592	1 701	19.667
1010	455 052 511	20 758 029	3 104	21.975
1011	4 118 054 813	169 923 159	11 588	24.283
1012	37 607 912 018	1 416 705 193	38 263	26.590
1013	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28.896
1014	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314 890	31.202
1015	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1 052 619	33.507
1016	279 238 341 033 925	7 804 289 844 393	3 214 632	35.812
1017	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 281	7 956 589	38.116
1018	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	21 949 555	40.420
1019	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960	99 877 775	42.725
1020	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 044 659 701	222 744 644	45.028
1021	21 127 269 486 018 731 928	446 579 871 578 168 707	597 394 254	47.332
1022	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994	1 932 355 208	49.636
1023	1 925 320 391 606 803 968 923	37 083 513 766 578 631 309	7 250 186 216	51.939

같이보기

• 소수 정리
• 스큐스 수
• 리만 제타 함수
• 주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여