유계 집합

조선의 문신에 대해서는 유계 (1607년) 문서를 참고하십시오.

유계인 집합과 유계가 아닌 집합

어떤 집합이 유계(有界, bounded)라는 것은 그 집합이 유한한 영역을 가진다는 의미이다. 유계는 거리가 정의되었을 때 의미를 가지며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다.

일반적인 정의

순서체 F의 부분집합 S가 모든 x ∈ S에 대해 x < z 인 어떤 z ∈ F가 존재함을 만족하면, S를 위로 유계(bounded from above)라 정의한다. 그리고 모든 x ∈ S에 대해 x < z 인 F의 원소 z를 상계(upper bound)라고 한다.

마찬가지로, 순서체 F의 부분집합 S가 모든 x ∈ S에 대해 x > z 인 어떤 z ∈ F가 존재함을 만족하면, S를 아래로 유계(bounded from below)라 정의한다. 그리고 모든 x ∈ S에 대해 x > z 인 F의 원소 z를 하계(lower bound)라 한다.

실수에서의 정의

집합 S ⊂ R 가 모든 s ∈ S에 대해 s ≦ b 인 어떤 b ∈ F가 존재함을 만족하면, S를 위로 유계라 정의하고 b를 상계라 한다. 그리고 모든 다른 상계 b에 대해 b₀ ≦ b를 만족하는 상계 b₀를 최소상계라 한다. 마찬가지로, 집합 S ⊂ R 가 모든 s ∈ S에 대해 s ≧ b 인 어떤 b ∈ F가 존재함을 만족하면, S를 아래로 유계라 정의하고 b를 하계라 한다. 그리고 모든 다른 하계 b에 대해 b₀ ≧ b를 만족하는 하계 b₀를 최대하계라 한다.

거리공간에서의 정의

거리공간 $(M,d)$ 위에 집합 $S$가 있을 때, 유한한 반지름을 가진 공이 존재하여 그 집합을 포함한다면 그 집합은 유계이다.

만약 $M$이 유계라면 그 공간은 유계 공간으로 부른다. 완전 유계 공간은 유계 공간이다.

같이보기

• 최소상계
• 최대하계