기 (수학)

3차원 공간 속의 완비기

대수기하학에서, 기(旗, 영어: flag 플래그^[*])는 벡터 공간 속의 부분 벡터 공간들로 구성된 여과이다.

정의

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $V$ 속의 기는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$\{0\}=V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq V_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{k}=V$

여기서 각 $V_{i}$는 $V$의 부분 $K$-벡터 공간이다. 즉, $V$의 부분 벡터 공간들에 대한 특별한 여과이다.

만약 $V=K^{n}$가 유한 차원 벡터 공간일 때, 길이가 $n$인 기를 완비기(完備旗, 영어: complete flag)라고 한다.

$V=K^{n}$ 속의, 차원들이 $(d_{0}=0d_{1},d_{2},\dots ,d_{k}=n)$인 기들의 모듈라이 공간

$\operatorname {Flag} (d_{1},\dotsc ,d_{k-1},d_{k};K)$

을 기 대수다양체(旗代數多樣體, 영어: flag variety)라고 한다. 이는 $K$-사영 대수다양체를 이룬다.

성질

$K$-벡터 공간 $V$의 $k$개 성분의 기 $(V_{i})_{0\leq i\leq k}$들의 공간 $\operatorname {Flag} (k;V)$ 위에는 일반 선형군 $\operatorname {GL} (V)$가 다음과 같이 작용한다.

$g\cdot (V_{i})_{0\leq i\leq k}=(gV_{i})_{0\leq i\leq k}$

이 작용에 대한 안정자군을 기 $(V_{i})_{0\leq i\leq k}$의 안정자군이라고 한다.

유한 차원 벡터 공간 $V=K^{n}$ 속의 기의 안정자군은 일반 선형군 $\operatorname {GL} (V)$의 포물형 부분군이며, 완비기의 안정자군은 $\operatorname {GL} (V)$의 보렐 부분군이다.

예

유한 차원 $K$-벡터 공간 $V=K^{n}$의 기저 $(v_{1},\dotsc ,v_{n})$를 잡고, 표준기(標準旗, 영어: standard flag)

$V_{i}=\operatorname {Span} _{K}\{v_{1},\dotsc ,v_{i}\}$

를 생각하자. 그렇다면, 그 안정자군은 다음과 같이 가역 상삼각 행렬들로 구성된다.

$M={\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&\dotsm &m_{n,n-1}&m_{n,n}\\0&m_{22}&\dotsm &m_{2,n-1}&m_{2,n}\\\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots \\0&&&m_{n-1,n-1}&m_{n-1,n}\\0&0&\dotsm &0&m_{nn}\end{pmatrix}}\qquad (m_{ii}\neq 0\forall i=1,\dotsc ,n)$

역사

$\mathbb {R} ^{3}$ 속의 완비기는 깃발이 달린 깃대로 형상화된다. 이 경우, 깃봉(그림의 황색 장식) · 깃대 · 깃발은 기의 성분에 해당한다.

“기”(프랑스어: drapeau 드라포^[*])라는 용어는 이미 1955년에 아르망 보렐이 사용하였다.^{:234, §5.1} “기”라는 단어의 어원은 다음과 같다. $V=\mathbb {R} ^{3}$ 속의 완비기는 원점(0차원 공간) · 직선(1차원 공간) · 평면(2차원 공간) · 3차원 공간으로 구성된다.

3차원 공간 속에, 깃대에 달려 있는, 빳빳한 깃발을 생각하자. 그렇다면, 이로부터 다음과 같은 기를 정의할 수 있다.

• 원점은 깃봉(깃대의 끝의 장식)이다.
• 직선은 깃대를 연장하여 얻는 직선이다.
• 평면은 깃발을 연장하여 얻는 평면이다.
• 3차원 공간은 공간 전체이다.

이에 따라, $\mathbb {R} ^{3}$ 속의 완비기는 깃발이 달린 깃대로 형상화될 수 있다.

외부 링크

• “Flag”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Flag structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Origin of terms “flag”, “flag manifold”, “flag variety”?” (영어). Math Overflow.