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클라인 4차 곡선

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대수기하학에서 클라인 4차 곡선(Klein4次曲線, 영어: Klein’s quartic curve)은 종수 3의 리만 곡면 가운데 가장 대칭적인 것인 모듈러 곡선이다.

정의[편집]

구체적 정의[편집]

클라인 4차 곡선은 2차원 복소수 사영 공간 속의, 다음과 같은 4차 동차 다항식으로 정의되는 복소수 사영 대수 곡선이다. (여기서 는 사영 공간의 동차 좌표계이다.)

모듈러 군을 통한 정의[편집]

복소수 상반평면 위에는 모듈러 군 이 자연스럽게 작용한다.

합동 부분군

에 대응되는 모듈러 곡선

클라인 4차 곡선이라고 한다.

성질[편집]

종수[편집]

클라인 4차 곡선은 종수 3의 콤팩트 리만 곡면이다. 이는 대수기하학의 첨가 공식으로서

으로 계산 가능하다. (여기서 는 사영 평면의 대수 곡선을 정의하는 동차 다항식의 차수이다.)

대칭[편집]

클라인 4차 곡선은 종수 3의 유일한 후르비츠 곡면이다. 특히, 종수 3의 연결 콤팩트 리만 곡면 가운데 최대의 크기의 자기 동형군을 갖는다.

클라인 4차 곡선의 (방향 보존) 자기 동형군

이며, 그 크기는 168이다. 이 사실은 모듈러 곡선을 통한 정의에서

로 계산할 수 있다.

주기[편집]

클라인 4차 곡선의 주기 행렬(영어: period matrix)을 생각하자. 종수가 3이므로, 이는 3×3 행렬로 표현되며, 적절한 기저에서는 다음과 같다.[1]

여기서

이다.

데생당팡[편집]

클라인 4차 곡선의 데생당팡. 검은 꼭짓점은 (푸른 색의) 꼭짓점에 대응하며, 흰 꼭짓점은 각 변의 중점에 대응한다.
쌍곡 평면을 정7각형으로 덮은 모양

클라인 4차 곡선 에서,

에 대응하는 데생당팡은 다음과 같다.

  • 총 56개의 검은 꼭짓점과 총 84개의 흰 꼭짓점이 있다.
  • 모든 검은 꼭짓점의 차수는 3이며, 모든 흰 꼭짓점의 차수는 2이다.

이는 다음과 같이 생각할 수 있다.

  1. 쌍곡 평면을 정7각형으로 덮는다고 하자. 이때, 각 꼭짓점에는 세 개의 정7각형이 인접해 있게 한다. 이는 (물론) 무한히 많은 정7각형들을 필요로 한다.
  2. 24개의 정7각형들이 남게 특별한 몫을 취한다. (그렇다면 개의 꼭짓점과 개의 변이 있게 된다.) 이 그래프클라인 그래프(영어: Klein graph)라고 한다.
  3. 각 꼭짓점을 검게 칠하고, 각 변의 중점에 흰 꼭짓점을 추가한다.

역사[편집]

펠릭스 클라인이 1878년에 타원 함수를 연구하던 도중 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Braden, H. W.; Northover, T. P. (2010년 10월). “Klein’s curve”. 《Journal of Physics A》 (영어) 43 (434009). arXiv:0905.4202. Bibcode:2010JPhA...43Q4009B. doi:10.1088/1751-8113/43/43/434009. 
  2. Klein, Felix (1878). “Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen. (Mit einer lithogr. Tafel.)”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 14 (3): 428–471. doi:10.1007/BF01677143. ISSN 0025-5831. 

외부 링크[편집]