표준 선다발

대수기하학에서 표준 선다발(標準線다발, 영어: canonical line bundle) 또는 표준 선속(標準線束)은 켈러 미분의 층의 최고차 외부 거듭제곱이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 위의 $n$차원 비특이 대수다양체 $X$의 표준 선다발 $\omega _{X}$은 다음과 같은 가역층이다.^:180–181

$\omega _{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/k}$

여기서 $\Omega _{X/k}$는 켈러 미분층이다. 표준 선다발에 대응하는 인자류를 표준류(標準類, 영어: canonical class)라고 하고, 표준류에 속하는 인자를 표준 인자(標準因子, 영어: canonical divisor) $K_{X}$라고 한다.

만약 $X$가 특이점을 가지지만 정규 대수다양체인 경우, 매끄러운 궤적(영어: smooth locus) $U\subset X$가 존재한다. 이 경우, $X$의 표준 인자는 $U$의 표준 인자로 정의한다. 보다 일반적으로, $X$가 S₂ 조건(여차원 2까지 코언-매콜리 조건이 성립)을 만족시키며 고런스틴 스킴이라면, 위와 같이 표준 인자를 정의할 수 있다.

표준 선다발의 역을 반표준 선다발(反標準線다발, 영어: anticanonical line bundle) $\omega _{X}^{-1}$이라고 한다. 반표준류(反標準類, 영어: anticanonical class) 및 반표준 인자(反標準因子, 영어: anticanonical divisor)는 이에 대응하는 인자(류)이다.

첨가 공식

첨가 공식(添加公式, 영어: adjunction formula)은 어떤 부분 대수다양체의 표준 선다발과 전체 공간의 표준 선다발 사이의 관계를 나타내는 공식이다.

비특이 대수다양체 $X$ 위의 인자 $D$에 대하여, 다음과 같은 첨가 공식이 성립한다.

$K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}$

즉, 선다발로는 다음과 같다. $D$로 정의되는 부분다양체를 $Y$, 매장 사상을 $\iota \colon Y\hookrightarrow X$라고 하면, 다음과 같다.

${\mathcal {K}}_{Y}=\iota ^{*}({\mathcal {K}}_{X}\otimes {\mathcal {O}}(D))$

여차원이 2 이상일 경우에도 유사한 첨가 공식이 성립한다. 비특이 대수다양체 $X$의 닫힌 비특이 부분 대수다양체 $\iota \colon Y\hookrightarrow X$가 주어졌고, 이에 대응하는 아이디얼 층이 ${\mathcal {I}}$라고 하자. 이 경우, ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$는 $Y$의 자리스키 쌍대법다발이다. 이 경우, 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.^:182

$0\to {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to \iota ^{*}T^{*}X\to T^{*}Y\to 0$

여기서 $T^{*}$는 공변접다발이다. 완전열의 모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.^{:146–147:182, Proposition II.8.20}

${\mathcal {K}}_{Y}=\iota ^{*}{\mathcal {K}}_{X}\otimes \left(\det({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})\right)^{\vee }$

여기서 $(-)^{\vee }$는 쌍대 다발을 뜻한다.

예

복소수체 위의 $n$차원 비특이 대수다양체의 경우, 표준 선다발은 행렬식 다발(영어: determinant bundle)이라고 하며, $n$차 정칙 미분 형식들의 선다발이다. (단일 연결) 칼라비-야우 다양체의 경우, 표준 선다발은 자명하다. 파노 다양체의 경우, 반표준 선다발은 풍부한 선다발이다.

리만 곡면의 표준 선다발

리만 곡면(=1차원 복소수 비특이 대수다양체) $C$ 위의 표준 선다발은 정칙 공변접다발 $\Omega _{C}$와 같으며, 그 차수는 다음과 같다.

$\deg \omega _{C}=2g-2=-\chi (C)$

특히, $g\geq 2$인 경우 이는 효과적 인자를 이룬다. 이 경우, $\omega _{C}$의 $g$개의 단면들은 유리 사상 $C\to \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{g-1}$을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 표준 곡선(영어: canonical curve)이라고 한다.

만약 $C$가 초타원 곡선일 경우, 그 표준 곡선은 유리 곡선이며, 유리 사상은 두 겹 피복 공간을 이룬다. 예를 들어, $C$의 종수가 2이며, $C$가 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자.

$y^{2}=P(x)$

여기서 $P$는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 복소수 미분 형식)은 다음과 같이 두 개가 있다.

${\frac {1}{\sqrt {P(x)}}}\,dx,\;{\frac {x}{\sqrt {P(x)}}}\,dx$

이에 따라서, 표준 곡선은

$(x,y)\mapsto x\in \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$

임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 피복 공간이다.

만약 $C$가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우, $C$의 표준 곡선은 $C$와 동형이다. 예를 들어, 다음과 같다.

• 종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다.
• 종수 4인 경우, 표준 곡선은 2차 곡면과 3차 곡면의 교집합이다.
• 종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 2차 초곡면의 교집합이다.

사영 공간

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}^{n}$에 대하여, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.^{:176, Theorem II.8.13} 이를 오일러 완전열이라고 한다.

$0\to \Omega _{\mathbb {P} _{K}^{n}}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(0)\to 0$

모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.^{:182, Example II.8.20.1}

$\omega _{\mathbb {P} _{K}^{n}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(-n-1)$

사영 공간 속의 초곡면

$n$차원 사영 공간 $\mathbb {P} ^{n}$ 속에서, 동차다항식들 $P_{i}$으로 정의되는 초곡면 $Y_{i}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}$들의 완전 교차(영어: complete intersection)

$Y=\bigcap _{i=1}^{\operatorname {codim} Y}Y_{i}$

를 생각하자. 이 경우,

$\omega _{\mathbb {P} ^{n}}={\mathcal {O}}(-n-1)$

${\mathcal {O}}(Y_{i})=\deg P_{i}$

이므로, 첨가 공식에 따라서 $Y$의 표준 선다발은 다음과 같다.

$\omega _{Y}={\mathcal {O}}\left(\sum _{i}\deg P_{i}-n-1\right)$

만약

$\sum _{i}\deg P_{i}=n+1$

이라면 표준 선다발은 자명하며, 이 경우 (비특이 대수다양체라면) $Y$는 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

특히, 사영 평면 속의 $d$차 대수 곡선 $C\subset \mathbb {P} ^{2}$의 표준 선다발은 다음과 같다.^{:361, Example V.1.5.1; 183, Example II.8.20.3}

$\omega _{C}={\mathcal {O}}(d-3)$

$d$차 평면 대수 곡선의 경우

$\deg {\mathcal {O}}(1)=d$

이므로,

$\deg \omega _{C}=d(d-3)$

이다. 리만-로흐 정리에 따라서

$\deg \omega _{C}=2g-2=-\chi (\Sigma )$

이므로, 다음과 같은 종수-차수 공식(種數次數公式, 영어: genus–degree formula)을 얻는다.

$g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)$

이차 곡면 위의 곡선의 종수

첨가 공식을 사용하여 이차 곡면 $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ 속의 곡선의 종수를 계산할 수 있다.^{:362, Example V.1.5.2} 곡선 $C$의 차수가 $(d_{1},d_{2})$라고 하자. $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$의 표준 선다발의 차수는 $(-2,-2)$이다. 즉, $C$의 차수는 $(d_{1}-2,d_{2}-2)$와 $(d_{1},d_{2})$의 교차곱이다. 이차 평면 위의 교차곱은 다음과 같다.^{:361, Example V.1.4.3}

$(a,b).(c,d)=ad+bc$

따라서, 다음이 성립한다.

$2g-2=d_{1}(d_{2}-2)+d_{2}(d_{1}-2)$

즉,

$g=d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1$

이다.

같이 보기

• 리만-로흐 정리
• 복소수 미분 형식
• 인자 (대수기하학)

외부 링크

• “Canonical class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Canonical curve”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Canonical imbedding”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Adjunction theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Noether-Enriques theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Canonical bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Canonical bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “The canonical line bundle of a normal variety” (영어). Math Overflow.