코시-비네 공식

선형대수학에서 코시-비네 공식(영어: Cauchy-Binet formula)은 정사각 행렬이 아닐 수 있는 두 행렬의 곱의 행렬식을 구하는 공식이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 음이 아닌 정수 $m,n,p,k$. 단, $m,n,p\geq k$
• 가환환 $R$
• $R$ 위의 $m\times n$ 행렬 $M$ 및 $n\times p$ 행렬 $N$
• 행의 집합 $I\subseteq \{1,\dots ,m\}$ 및 열의 집합 $J\subseteq \{1,\dots ,p\}$. 단, $|I|=|J|=k$

그렇다면, 다음이 성립한다.

$\det((MN)_{I,J})=\sum _{K\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|K|=k}\det(M_{I,K})\det(N_{K,J})$

특히, $m=p=k$인 경우, 다음이 성립하며, 이를 코시-비네 공식이라고 한다.

$\det(MN)=\sum _{K\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|K|=m}\det(M_{\{1,\dots ,m\},K})\det(N_{K,\{1,\dots ,m\}})$

특수한 경우

m = p = k = 2

$m=p=k=2$의 경우는 다음과 같으며, 이를 비네-코시 항등식(영어: Binet-Cauchy identity)이라고 한다.

$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}d_{i}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{i}\right)=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$

$a_{i},b_{i},c_{i},d_{i}\in R$

m = n = p = k

$m=n=p=k$의 경우는 두 정사각 행렬의 곱의 행렬식의 공식이다.

$\det(MN)=\det(M)\det(N)$

k = 1

$k=1$의 경우는 행렬 곱셈의 공식이다.

$(MN)_{ij}=\sum _{k=1}^{n}M_{ik}N_{kj}$

n < k

전제 조건을 어겨 $n<k$라고 하면, 코시-비네 공식이 성립하지 않으며, 대신 다음이 성립한다.

$\det((MN)_{I,J})\in R\setminus R^{\times }$

그러나, $R$가 나눗셈환인 경우 코시-비네 공식은 이 경우에도 성립하며, 이는 다음과 같다.

$\det((MN)_{I,J})=0$

역사

오귀스탱 루이 코시와 자크 필리프 마리 비네(프랑스어: Jacques Philippe Marie Binet)의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Cauchy Binet formula”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Binet-Cauchy identity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cauchy-Binet formula”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Cauchy-Binet formula”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Binet-Cauchy identity”. 《ProofWiki》 (영어).