수리논리학에서 보존적 확장(保存的擴張, 영어: conservative extension)은 주어진 이론을 확장하되, 원래 이론의 언어로서 나타낼 수 있는 모든 명제의 증명 가능성 여부가 바뀌지 않게 하는 확장이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 1차 논리 언어
과 그 확장 ![{\displaystyle {\mathcal {L}}'\supseteq {\mathcal {L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c026bda1f2c7cd0d00917d25b28223719dd0c6f1)
-문장들의 집합
와
-문장들의 집합 ![{\displaystyle {\mathcal {T}}'\supseteq {\mathcal {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d399b677fb99907c0541302064bef0b33109751a)
만약 다음 조건이 성립한다면,
이
의 (증명 이론적) 보존적 확장(영어: proof-theoretic conservative extension)이라고 한다.[1]:37, Theorem 1.13.2
![{\displaystyle \{\phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})\colon {\mathcal {T}}\vdash \phi \}=\{\phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})\colon {\mathcal {T}}'\vdash \phi \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd8e09d84a2ecbe5c75cbeb114cbe3a4298adf6)
즉,
로 서술할 수 있는 문장에 대하여,
-증명 가능성은
-증명 가능성과 동치이다.
만약 다음 조건이 성립한다면,
이
의 모형 이론적 보존적 확장(영어: model-theoretic conservative extension)이라고 한다.
- 임의의
-구조
에 대하여
라면,
이자
인
-구조
이 항상 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요는 없다.)
이론
의 증명 이론적 보존적 확장
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
가 무모순적인지 여부는
가 무모순적인지 여부와 동치이다.
![{\displaystyle \operatorname {Con} ({\mathcal {T}})\iff \operatorname {Con} ({\mathcal {T}}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed240f192e62d142a5d64bde5a540b72eda29a9d)
(여기서
은 거짓인 문장이다.)
무모순적 이론
의 확장
에 대하여,
라면, 괴델의 불완전성 정리에 따라
은
의 보존적 확장이 아니다.
언어
의 1차 논리 문장들의 집합
이 주어졌다고 하고,
로부터 다음과 같은 꼴의 문장을 증명할 수 있다고 하자.
![{\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \forall x_{1}\forall x_{2}\cdots \forall x_{m}\exists y_{1}\exists y_{2}\cdots \exists y_{n}\phi (x_{1},\dots ,x_{m},y_{n},\dots ,y_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850bd20f25c2f54b240e23823b7ac7bfbdb20c5b)
여기서 논리식
의 자유 변수들은
이며,
은 자연수이다 (특히, 0일 수 있다).
그렇다면,
에
개의 새
항 연산 기호
를 추가한 언어를
이라고 하고,
![{\displaystyle {\mathcal {T}}'={\mathcal {T}}\cup \{\forall x_{1}\forall x_{2}\cdots \forall x_{m}\phi \left(x_{1},\dots ,x_{m},{\mathsf {f}}_{1}(x_{1},\dots ,x_{m}),\dots ,{\mathsf {f}}_{n}(x_{1},\dots ,x_{m})\right)\}\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6121cc477f576969996d5a55ef9a6a0cc0880812)
을 정의하자. 그렇다면,
은
의 모형 이론적 보존적 확장이다.