보바인 적분(Borwein integral)은 수학자 데이비드 보바인과 조너선 보바인이 2001년 발표한 특이한 속성을 가진 적분이다.[1] 보바인 적분은
이고
에서 극한값으로
라고 정의하는 싱크함수의 변형형인
함수의 적분의 계산이다.
보바인 적분은 같은 패턴을 보이는 적분값이 어느 순간 패턴이 깨지고 전혀 다른 값으로 나오는 예시 중 하나이다.
싱크 함수의 양의 무한적분 값은 다음과 같다.
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1f77f796f0a822c23b3254bf028f90d7570509)
여기서,
에 들어가는 a 값을 1, 3, 5 등 홀수로 늘려가며 이어나가 곱한 함수의 적분값을 구하면 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9670ee100344ef5d0de572a51754e9a34b5aa47)
이 함수의 적분값은 a를 13까지 늘렸을 때까지 일치한다.
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4192a48666c10102b52e928e2edbd6f718a976c2)
하지만, a값이 15를 넘어서게 되면 다음과 같이 패턴이 달라지게 된다.(OEIS의 수열 A068214)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8981fcdbb14e620e8bc862e1411c088ae5450fa7)
일반적으로, 3, 5, 7…과 같이 붙은 a값의 역수들의 총 합이 1보다 작을 경우 적분값은 항상 π/2이다. 위의 예시의 경우, 1/3 + 1/5 + … + 1/13 < 1,이지만 1/3 + 1/5 + … + 1/15 > 1.로 15서부터는 1을 넘어서서 적분값이 달라진다.
싱크함수 앞에
를 곱하게 되면 더 오랫동안 패턴이 유지되는데,
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c774af9d332b92a2f3c57bce0e1e7671bbcdcc70)
하지만,
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<{\frac {\pi }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ba35e5213a7686ed3dc556967b909204849b52)
이다.
위의 경우에는 1/3 + 1/5 + … + 1/111 < 2이지만 1/3 + 1/5 + … + 1/113 > 2여서 위처럼 값이 어긋나게 되는 것이다.
원래 싱크함수의 적분값과 그의 확장형값이 같다가 어느 순간 값이 달라지는 이유는 직관적인 수학적 설명으로 증명되었다.[2][3] 특히 인과관계 논리가 있는 무작위 행보 재규격화에서는 패턴이 깨지는 이유를 밝혀주며 여기에 여러 일반화까지 덧붙여진다.[4]
일반화 공식과 증명[편집]
0이 아닌 실수 수열
에서 위 싱크함수의 일반적인 무한적분 공식은 다음과 같다.[1]
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1166400931791b035c101fbdf1ce51cdb300043)
위 공식을 사용하러면
까지의 합계를 알아야 한다. 만약
에서 각각의 값이
인 n-튜플이라면 위 식을
까지의 교대급수인
이라고 할 수 있고 우리는
라고 정의할 수 있으며 이 값은
이다. 즉 푸리에 변환을 이용해 위 표기법으로 싱크함수의 무한적분을 정리하면 다음과 같다.
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc7ca808e24584f6a3cab666e7f4aff9603a077)
여기서
![{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8d34e23724eda4e0afc1f80d8a63ea8ff4dd04)
이다. (sgn은 부호함수)
만약
이면
이므로
가 된다.
또한 각각의
에 대해
이고
인
이 존재한다면 처음부터
번째까지의 부분합이
을 넘는 첫
값이며
까지는
이지만
![{\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2486b5c99961c29f732d3a904b665cdd2cf5a607)
이 된다.
위의 설명 첫 예시를 예로 들면,
가 된다.
에서
이며
이지만 n이 15가 될 경우
즉
를 넘게 되므로 13까지는
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e41423f8b78176a404c71693b8f6688ed7822f)
가 되지만,
에서
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a2ad2632cf40d6ce99f63e35a5a1b31dae0368)
즉 위에서 나열한 값과 같다.
- ↑ 가 나 Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), “Some remarkable properties of sinc and related integrals”, 《The Ramanujan Journal》 5 (1): 73–89, doi:10.1023/A:1011497229317, ISSN 1382-4090, MR 1829810
- ↑ Schmid, Hanspeter (2014), “Two curious integrals and a graphic proof” (PDF), 《Elemente der Mathematik》 69 (1): 11–17, doi:10.4171/EM/239, ISSN 0013-6018
- ↑ Baez, John (2018년 9월 20일). “Patterns That Eventually Fail”. 《Azimuth》. 2019년 5월 21일에 원본 문서에서 보존된 문서.
- ↑ Satya Majumdar; Emmanuel Trizac (2019), “When random walkers help solving intriguing integrals”, 《Physical Review Letters》 123 (2): 020201, arXiv:1906.04545, Bibcode:2019arXiv190604545M, doi:10.1103/PhysRevLett.123.020201, ISSN 1079-7114
외부 링크[편집]