모레라 정리

복소해석학에서 모레라 정리(-定理, 영어: Morera's theorem)는 단일 연결 열린집합에 정의된 복소 연속 함수에 대하여, 정칙 함수와 경로 무관성이 동치라는 정리이다.

정의

모레라 정리에 따르면, 연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$에 정의된 연속 함수 $f\colon D\to \mathbb {C}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 정칙 함수이다.
• 임의의 조각마다 ${\mathcal {C}}^{1}$ 닫힌 곡선 $\gamma \colon [a,b]\to D$에 대하여, $\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=0$
• 임의의 삼각형 열린집합 $T\subseteq D$에 대하여, $\int _{\partial T}f(z)\mathrm {d} z=0$

특히, $D$가 단일 연결 열린집합이라면, $f$가 정칙 함수인 것과 경로 적분이 경로에 의존하지 않는 것은 동치이다.

증명

코시 적분 정리에 의하여, 후자가 전자를 함의하는 것을 보이는 것으로 족하다.^:91-92

임의의 $w_{0}\in D$를 취하자. 그렇다면, $f$가 어떤 볼록 열린 근방 $w_{0}\in {\tilde {D}}\subseteq D$에서 정칙 함수임을 보이는 것으로 족하다. (${\tilde {D}}$는 볼록 집합이므로 단일 연결 집합이다.)

함수 $F\colon {\tilde {D}}\to \mathbb {C}$를

$F(w)=\int _{[w_{0},w]}f(z)\mathrm {d} z\qquad \forall w\in {\tilde {D}}$

와 같이 정의하자. 여기서 $[w_{0},w]\subseteq {\tilde {D}}$는 $w_{0}$와 $w$ 사이의 닫힌 선분이다. 그렇다면, 임의의 $w\in {\tilde {D}}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\lim _{w'\to w}{\frac {F(w')-F(w)}{w'-w}}&=\lim _{w'\to w}\int _{[w,w']}{\frac {f(z)}{w'-w}}\mathrm {d} z\\&=\lim _{w'\to w}\int _{0}^{1}f(w+t(w'-w))\mathrm {d} t\\&=f(w)\end{aligned}}$

즉, 임의의 $w\in {\tilde {D}}$에 대하여, $F'(w)=f(w)$이다. 따라서 $F$는 ${\tilde {D}}$에서 정칙 함수이며, 그 도함수 $f$ 역시 ${\tilde {D}}$에서 정칙 함수이다.

따름정리

모레라 정리는 일부 함수들이 정칙 함수라는 것을 증명하는 데 사용된다.

콤팩트 수렴 정칙 함수열의 극한의 정칙성

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$에 정의된 정칙 함수열 $f_{n}\colon D\to \mathbb {C}$가 함수 $f\colon D\to \mathbb {C}$로 콤팩트 수렴한다고 하자. 그렇다면, $f$ 역시 정칙 함수이다.

임의의 $z_{0}\in D$를 취하고, $0<r<d(z_{0},\partial D)$를 취하자. 그렇다면, ${\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)\subseteq D$이며, 이는 콤팩트 집합이므로, $f_{n}$은 ${\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)$에서 $f$로 균등 수렴한다. 따라서, $f$는 ${\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)$에서 연속 함수이며, 임의의 조각마다 ${\mathcal {C}}^{1}$ 닫힌 곡선 $\gamma \colon [a,b]\to {\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)$에 대하여,

$\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\lim _{n\to \infty }\int _{\gamma }f_{n}(z)\mathrm {d} z=0$

이다. 모든 삼각형은 조각마다 ${\mathcal {C}}^{1}$ 닫힌 곡선이므로, 모레라 정리에 의하여, $f$는 ${\bar {\operatorname {B} }}(z_{0},r)$에서 정칙 함수이다.

리만 제타 함수의 정칙성

리만 제타 함수 $\zeta$는

$D=\{s\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} s>1\}$

에서 다음과 같이 정의된다.

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\qquad \forall s\in D$

이 급수는 바이어슈트라스 M-판정법에 따라 $D$에서 콤팩트 수렴하며, 각 $s\mapsto 1/n^{s}$는 정칙 함수이므로, 임의의 조각마다 ${\mathcal {C}}^{1}$ 곡선 $\gamma \colon [a,b]\to D$에 대하여,

$\int _{\gamma }\zeta (s)\mathrm {d} s=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\gamma }{\frac {1}{n^{s}}}\mathrm {d} s=0$

이다. 모레라 정리에 의하여, $\zeta$는 $D$에서 정칙 함수이다.

감마 함수의 정칙성

감마 함수 $\Gamma$는

$D=\{s\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} s>0\}$

에서 다음과 같이 정의된다.

$\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}\mathrm {d} x$

각 $s\mapsto x^{s-1}$는 정칙 함수이다. 따라서, 푸비니 정리에 의하여, 임의의 조각마다 ${\mathcal {C}}^{1}$ 곡선 $\gamma \colon [a,b]\to D$에 대하여,

$\int _{\gamma }\Gamma (s)\mathrm {d} s=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\mathrm {d} x\int _{\gamma }x^{s-1}\mathrm {d} s=0$

이다. 모레라 정리에 의하여, $\Gamma$는 $D$에서 정칙 함수이다.

외부 링크

• “Morera theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Morera's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.