실해석학에서 리만 재배열 정리(-再配列定理, 영어: Riemann series theorem, Riemann rearrangement theorem)는 실수항의 조건 수렴 급수의 항의 순서를 적절히 변경하여 임의의 실수 또는 음과 양의 무한대로 수렴하도록 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 유한 개의 실수의 덧셈에 대한 교환 법칙이 무한 개의 실수에 대하여 성립하지 않는다는 것보다 더 많은 내용을 담는다.
실수항 급수
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}\qquad (x_{n}\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b505fd4a36436f7ef5608322187ff8a9b79ddb8)
가 조건 수렴한다고 하자. 리만 재배열 정리에 따르면, 임의의 확장된 실수
에 대하여, 다음을 만족시키는 순열
이 존재한다.[1]:6, §1.1, Theorem 1.1.3[2]:193, §8.2, Theorem 8.2.8
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}=s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e185775fd70ae8e90205ecca73477b534316316)
자연수(음이 아닌 정수)의 집합
을 다음과 같이 분할하자.
![{\displaystyle \mathbb {N} =\{m_{0},m_{1},m_{2},\dots \}\cup \{n_{0},n_{1},n_{2},\dots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5af57dba0f89209fbc83cbe0491ad65db7a38aa)
![{\displaystyle x_{m_{k}}\geq 0\qquad \forall k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/497f2a1f1661a085a913b50c9a1ad4ce1094fc66)
![{\displaystyle x_{n_{k}}<0\qquad \forall k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b267f1eea0111898529e5f26a5ef61dbb75590)
그렇다면,
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x_{m_{k}}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0ebf4a1a90240f9ee30f2ed55fec1667a16d97)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x_{n_{k}}=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9c5a5b93f481fb468fd88bff2993dd1175c750)
임을 보일 수 있다. (만약 두 급수가 모두 실수로 수렴한다면,
은 절대 수렴하므로 모순이다. 만약 두 급수가 하나는 무한대로 발산하고 하나는 실수로 수렴한다면,
은 무한대로 발산하므로 모순이다.) 특히,
와
는 모두 무한 집합이다.
이제, 급수가
로 수렴하도록 항을 재배열하는 방법을 찾자. 편의상
이라고 하자. 우선
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{i_{0}-1}x_{m_{k}}\leq s<\sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c4316936ac7774e4eec08bd0decb42300c01b4)
인 자연수
를 취할 수 있다. 이 경우
![{\displaystyle s<\sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}\leq s+x_{m_{i_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e689e1ff7e1abe28c82aa54167157ba327aee365)
이다. 이제
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{0}}x_{n_{k}}<s\leq \sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{0}-1}x_{n_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5104c500f371993454cf859e48c9cf964102495c)
인 자연수
을 취하자. 그렇다면 마찬가지로
![{\displaystyle s+x_{n_{j_{0}}}\leq \sum _{k=0}^{i_{0}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{0}}x_{n_{k}}<s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b27cddef57d25beeb57fd47af29186f6b0022f0)
가 성립한다. 위와 같은 과정을 반복하면 다음을 만족시키는 자연수열
및
을 얻는다.
![{\displaystyle i_{0}<i_{1}<i_{2}<\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8acc1bcaa11b2f5ebad761736675515f7094abb9)
![{\displaystyle j_{0}<j_{1}<j_{2}<\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18422a396d2139357bf9936e43113ecaf8273ad)
![{\displaystyle s<\sum _{k=0}^{i_{r}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{r-1}}x_{n_{k}}\leq s+x_{m_{i_{r}}}\qquad \forall r\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7110539e52c46c7121a807aaef6c81aea1311e)
![{\displaystyle s+x_{n_{j_{r}}}\leq \sum _{k=0}^{i_{r-1}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{r}}x_{n_{k}}<s\qquad \forall r\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3c370c062a381fa70168283cd45d6e630de961)
이제, 순열
을 다음과 같이 정의하자.
![{\displaystyle (\sigma (n))_{n=0}^{\infty }=(m_{0},m_{1},\dots ,m_{i_{0}},n_{0},n_{1},\dots ,n_{j_{0}},m_{i_{0}+1},m_{i_{0}+2},\dots ,m_{i_{1}},n_{j_{0}+1},n_{j_{0}+2},\dots ,n_{j_{1}},\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f6efea8079e7e3a85503c88980ed0eb6e0d3d7)
그렇다면, 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle \left|\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(m_{K})}x_{\sigma (n)}-s\right|=\left|\sum _{k=0}^{K}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{j_{r}}x_{n_{k}}-s\right|<x_{m_{i_{r}}}\qquad (i_{r-1}<K\leq i_{r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105436079ffd9995522a21f71d084917e3f31118)
![{\displaystyle \left|\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(n_{K})}x_{\sigma (n)}-s\right|=\left|\sum _{k=0}^{i_{r}}x_{m_{k}}+\sum _{k=0}^{K}x_{n_{k}}-s\right|<-x_{n_{j_{r}}}\qquad (j_{r-1}<K\leq j_{r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f867252a50b3a61e6d6eaa06bff482f24148f7d)
이므로
![{\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{N\to \infty }\left|\sum _{n=0}^{N}x_{\sigma (n)}-s\right|&\leq \limsup _{K\to \infty }\max \left\{\left|\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(m_{K})}x_{\sigma (n)}-s\right|,\left|\sum _{n=0}^{\sigma ^{-1}(n_{K})}x_{\sigma (n)}-s\right|\right\}\\&\leq \limsup _{r\to \infty }\max\{x_{m_{i_{r}}},-x_{n_{j_{r}}}\}\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8f929e1b19bcde3ff71d235837679354184013)
이다. 즉,
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}=s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e185775fd70ae8e90205ecca73477b534316316)
이다.
조화 급수에 대응하는 교대 급수
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e920bf409beba1ecb60b298d19a201c4620d001d)
를 생각하자. 이 급수는
로 수렴한다. 그러나 하나의 양의 실수항과 2개의 음의 실수항을 번갈아 가며 배열하여 얻는 새로운 급수는
로 수렴한다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots ={}&\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}\\&+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\={}&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)\\={}&{\frac {1}{2}}\ln 2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03eb7155adea736b2f1084a5e3df6c16c0b9ee82)
베른하르트 리만의 이름을 땄다.