측도론에서 르베그-스틸티어스 측도(Lebesgue-Stieltjes測度, 영어: Lebesgue–Stieltjes measure)는 어떤 함수의 ‘도함수’에 해당하는 측도이다. 이를 사용한 적분을 르베그-스틸티어스 적분(Lebesgue-Stieltjes積分, 영어: Lebesgue–Stieltjes integral)이라고 한다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 증가 함수
![{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/926a8888ada479f404e300131e232ca43f4c867b)
그렇다면, 다음과 같은 외측도
를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \mu _{g}(S)=\inf \left\{\sum _{(c,d]\in {\mathcal {I}}}(g(d^{+})-g(c^{+}))\colon {\mathcal {I}}\in {\mathcal {P}}_{\leq \aleph _{0}}({\mathcal {C}}),\;S\subseteq \bigcup {\mathcal {I}}\right\}\qquad (S\in {\mathcal {B}}([a,b]))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e4ae4bdbd450837e3308793515bc55ed5e8449)
여기서
![{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{(c,d]\colon c,d\in \mathbb {R} ,\;c<d\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7266d4a563e8f8f1cb570383dfa549373866c24f)
는 실수 반(半)열린구간들의 집합족이며,
![{\displaystyle {\mathcal {P}}_{\leq \aleph _{0}}({\mathcal {C}})=\left\{{\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {C}}\colon |{\mathcal {I}}|\leq \aleph _{0}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa9a4baef2133626559dfeb45d83e4a825d2424)
는
속의 가산 개의 반(半)열린구간들의 집합족들의 모임이며,
![{\displaystyle g(x^{+})=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}g(x+\epsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e903cfb863684f6304a5704f2881a4a61d7dd90)
이다.
로 생성되는 시그마 대수
는 실수선의 보렐 시그마 대수이다. 카라테오도리 확장 정리에 의하여, 이는 보렐 시그마 대수에 제한될 경우 측도를 이루며, 이를
의 르베그-스틸티어스 측도라고 한다.[1]:26, Definition 1.3.7 르베그-스틸티어스 측도에 대한 적분은 흔히 다음과 같이 표기한다.
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f\;\mathrm {d} \mu _{g}=\int _{\mathbb {R} }f\;\mathrm {d} g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a814a2e7d17fe382b5c478b08fb03abfbad1d613)
우선, 임의의 집합
에 대하여, 정수 계수 형식적 합의 공간
![{\displaystyle \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})=k_{1}(x_{1,1},x_{2,1},\dots ,x_{n,1})+k_{2}(x_{1,2},x_{2,2},\dots ,x_{n,2})+\cdots +k_{p}(x_{1,1},x_{2,1},\dots ,x_{n,p})\qquad (x_{i,j}\in X,\;k_{j}\in \mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7cd485a9086023f4e8c17d885a368219c5c8282)
을 생각하자. 임의의 함수
를 위 공간으로 다음과 같이 확장할 수 있다.
![{\displaystyle {\hat {g}}\colon \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d19609009a82619edb01b67133c001d7feb94be)
![{\displaystyle {\hat {g}}\colon \sum _{i=1}^{p}k_{i}{\vec {x}}_{i}\mapsto \sum _{i=1}^{p}k_{i}g({\vec {x}}_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1baf37d3477339f670cfd1257bea1aaa7a2bc3)
이 위에 다음과 같은
-선형 연산자를 정의하자.
![{\displaystyle \Delta _{i;b_{i}}\colon \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33b510f5367423d76c833afc430ca74dee0c476)
![{\displaystyle \Delta _{i;b_{i}}\colon (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})\mapsto (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1},b_{i},a_{i+1},\dots ,a_{n})-{\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3077327cd3388ec2ae6ad63b614a91e9394ff0b5)
이제, 임의의
에 대하여 다음과 같은
-선형 연산자를 정의하자.
![{\displaystyle \Delta _{\vec {b}}\colon \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b784d692dc7baec807ebfd94376200f46b38ed)
![{\displaystyle \Delta _{\vec {b}}=\Delta _{1;b_{1}}\circ \Delta _{2;b_{2}}\circ \dotsb \circ \Delta _{n;b_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2735a2a375a3aa7b8b77a86b7ef6695a40f20b)
함수
![{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f822f5a0cb4b847a477873f0bde297b25a5596dc)
가 임의의
에 대하여 (
) 다음 두 조건을 만족시킨다면, 분포 함수(영어: distribution function)라고 하자.
![{\displaystyle g({\vec {b}})\geq g({\vec {a}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca2e784c1a17a34f362989f2a5bd5462db03849)
![{\displaystyle {\hat {g}}\left(\Delta _{\vec {b}}({\vec {a}})\right)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e113f2f9f5aab9d7eb45531129fe11bf09661c96)
이 경우, 위와 같은
에 대하여 다음과 같은 (외)측도를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \mu _{g}\left(\prod _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]\right)=\lim _{{\vec {\epsilon }}\to 0^{+}}{\hat {g}}\left(\Delta _{{\vec {b}}+{\vec {\epsilon }}}({\vec {a}}+{\vec {\epsilon }})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9ea51d7e3ccfa113554e829d62ff047f8aeae0)
이를 통해 마찬가지로 보렐 시그마 대수
위에 르베그-스틸티어스 측도
![{\displaystyle \mu _{g}\colon {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da336c4c8e77d1cc98dc047194ced64b84ea2ce0)
를 정의할 수 있다.[1]:27–28, §1.3.3
항등 함수
,
의 르베그-스틸티어스 측도는 르베그 측도라고 한다.
함수
![{\displaystyle g\colon x\mapsto {\begin{cases}0&x\leq 0\\x&x>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54741ce2a0b22e2c4a669286083711b680c8d0a8)
를 생각하자. 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.
![{\displaystyle \mu _{g}(S)=\mu _{g}(S\cap [0,\infty ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca8f12faba34edb5be005ebdedcfb13e121051f)
함수
![{\displaystyle g\colon x\mapsto \alpha x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38713e452933576f998b4dafa2073440c5d5cbd)
를 생각하자 (
). 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.
![{\displaystyle \mu _{g}(S)=\alpha \nu _{\text{L}}(S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d47eefe3b3029d22d09ebd43c4cdb5c396c8c97)
여기서
는 르베그 측도이다.
정의에 따라, 임의의 유계 집합의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다.
앙리 르베그와 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 땄다.