디감마 함수(Digamma function)는 폴리감마 함수중 첫번째 함수이다.
또는
으로도 표기한다.
감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수(polygamma function)
로 주어진다.
![{\displaystyle {\psi _{n}(z)}={d^{n+1} \over {dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaaba219739810505002effbc75a5de0bb0c5d2b)
![{\displaystyle \;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}{{\Gamma '(z)} \over {\Gamma (z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034031dfcf857fe80bfda65151457d16d6965d8f)
![{\displaystyle \;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}\psi _{0}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6efe2b2095b931a28b3d7d9a9029d1c1a5715ab)
디감마 함수(Digamma function)
[편집]
디감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의된다.
에서 ![{\displaystyle n=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae)
디감마 함수는 폴리감마 함수중 첫번째 함수로 주어진다.
![{\displaystyle {\psi _{0}(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b589edf9c2215dfd956a9776289e0dea25c4ec)
![{\displaystyle ={\psi _{}(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8a422ad9c2bdd287e34d11ea03ea97a27b8c54)
트리감마 함수(Trigamma function)
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![{\displaystyle \psi _{n}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e96858afcc57bdfbab72447722c04d681b7c0a)
![{\displaystyle n=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425)
![{\displaystyle {\psi _{1}(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c161fd406856209c24c51d68ec53f91926ab655a)
감마 함수 미분의 급수 표현과 디감마 함수
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![{\displaystyle \psi _{0}(z)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8df50831c732e56dab031c36044f6419a52a57)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{{(-1)^{k}} \over {zk+1}}={{\phi (-1,1,z^{-1})} \over {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d65efcdb76c7471f89aeb6bca34f00bbf2400ec)
![{\displaystyle \quad ={1 \over {2z}}\left(\psi _{0}\left({{z+1} \over {2z}}\right)-\psi _{0}\left({{1} \over {2z}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c147ab3b667719ca8d1b4bf1f115afca612d690)
레르크 초월자(Lerch transcendent 또는 레르크 제타 함수)
그리고,
![{\displaystyle n=integer,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7363a1c1e6d086408cf25e9b1020dd3bb89892f)
![{\displaystyle \psi _{0}(n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}{{1} \over {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd146e76599650774f0e0fa2f407d973ab22f56)
![{\displaystyle \quad =-\gamma +H_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e145a29b9ea6d6a97bc846aee79ca52660ca20a4)
- 오일러-마스케로니 상수
조화수(Harmonic number)